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第3讲 变量间的相关关系、统计案例
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，假如这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线四周，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)回归方程为＝x＋，其中＝，＝－．
(3)通过求Q＝ (yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的确定值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的确定值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
[做一做]
1．有关线性回归的说法，不正确的是( )
A．具有相关关系的两个变量是非确定关系
B．散点图能直观地反映数据的相关程度
C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D．散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强
答案：D
2．(2021·山西省第三次四校联考)已知x、y的取值如下表所示，从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.83x＋a，则a＝( )
x
0
1
3
4
y
0.9
1.9
3.2
4.4
A.0.8 B．0.94
C．1.2 D．1.5
解析：选B.由题意，＝＝2，＝＝2.6，而样本点的中心点(，)必在回归直线上，代入得2.6＝0.83×2＋a，从而有a＝0.94.
1．辨明三个易误点
(1)易混淆相关关系与函数关系，两者的区分是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不愿定是因果关系，也可能是伴随关系．
(2)回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能全部的样本数据点都不在直线上．
(3)利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为精确 值，而实质上是猜想值(期望值)．
2．求线性回归直线方程的方法
求解回归方程关键是确定回归系数，，因求解的公式计算量太大，一般题目中给出相关的量，如，，x，xiyi等，便可直接代入求解．充分利用回归直线过样本中心点(，)，即有y＝＋，可确定.
[做一做]
3．在2022索契冬奥会期间，某网站针对性别是否与看冬奥会直播有关进行了一项问卷调查，得出如下表格：
性别
是否看冬奥会直播
男
女
看冬奥会直播
6 000
2 000
不看冬奥会直播
2 000
2 000
(附：K2＝)，则K2＝( )
A．700 B．750
C．800 D．850
解析：选B.由题意知，
K2＝＝750.
__相关关系的推断______________________
(1)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若全部样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．0
C. D．1
(2)(2021·高考湖北卷)四名同学依据各自的样本数据争辩变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中确定不正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[解析] (1)全部样本点均在直线上，则样本相关系数最大，即为1.
(2)由回归直线方程＝x＋，知当>0时，x与y正相关，当<0时，x与y负相关，所以①④确定错误．
[答案] (1)D (2)D
[规律方法] 推断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，依据散点图很简洁看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱．
1. (2021·河北石家庄市质量检测)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图)，以下结论中正确的是( )
A．x和y正相关
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在－1到0之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数确定相同
解析：选C.由题图知，回归直线的斜率为负值，所以x与y是负相关，且相关系数在－1到0之间，所以C正确．
__线性回归方程及其应用(高频考点)______
线性回归问题是高考中的热点问题，考查形式可以是小题，也可以是解答题．
高考中对线性回归问题的考查主要有以下两个命题角度：
(1)求回归直线方程；
(2)利用回归方程进行猜想．
(2022·高考课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2021年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2022
2021
年份代
号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯
收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化状况，并猜想该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估量公式分别为：
＝,=－
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线性回归方程的求法
[解] (1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(t i－)=9+4+1+0+1+4+9=28
(t i－)( yi－)＝(－3)×(－1．4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0．7)＋0×0．1＋1×0．5＋2×0．9＋3×1．6＝14，
＝＝＝0．5，
＝－＝4．3－0．5×4＝2．3，
所求回归方程为＝0．5t＋2．3．
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2021年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得
＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故猜想该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
[规律方法] (1)求回归直线方程前应通过散点图或相关系数进行相关性检验，确定是否有必要依据公式求回归直线方程，从而有依据地进行猜想．
(2)求线性回归方程的步骤：
①计算，；
②计算x i y i , x i
③计算＝=．
＝－；
④写出回归方程＝x＋．
2.(1)(2022·高考湖北卷)依据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则( )
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
(2)(2021·石家庄市第一次模拟)登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对比表：
气温(℃)
18
13
10
－1
山高(km)
24
34
38
64
由表中数据，得到线性回归方程＝－2x＋(∈R)．由此估量山高为72(km)处气温的度数为( )
A．－10 B．－8
C．－6 D．－4
解析：(1)选B.作出散点图如下：
观看图象可知，回归直线＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，＝a＞0.故a＞0，b＜0.
(2)选C.∵＝10， ＝40，∴样本中心点为(10，40)，∵回归直线过样本中心点，∴40＝－20＋，即＝60，∴线性回归方程为＝－2x＋60，∴山高为72(km)处气温的度数为－6，故选C.
__独立性检验____________________________
(2022·高考辽宁卷节选)某高校餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一班级同学中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
宠爱甜品
不宠爱甜品
合计
南方同学
60
20
80
北方同学
10
10
20
合计
70
30
100
依据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方同学和北方同学在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
附：K2＝
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
[解] 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝＝≈4.762.
由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方同学和北方同学在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
[规律方法] 独立性检验的一般步骤：
(1)依据样本数据制成2×2列联表；
(2)依据公式K2＝计算K2的值；
(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计推断．
3.2022年世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否宠爱德国队进行调查，40岁以上调查了50人，不高于40岁调查了50人，所得数据制成如下列联表：
不宠爱德国队
宠爱德国队
总计
40岁以上
p
q
50
不高于40岁
15
35
50
总计
a
b
100
已知工作人员从全部统计结果中任取一个，取到宠爱德国队的人的概率为，则有超过________的把握认为年龄与德国队的被宠爱程度有关．
附：K2＝
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解析：设“从全部人中任意抽取一个，取到宠爱德国队的人”为大事A，由已知得P(A)＝＝，所以p＝25，q＝25，a＝40，b＝60，K2＝＝＝≈4.167>3.841，故有超过95%的把握认为年龄与德国队的被宠爱程度有关．
答案：95%
1．(2021·泸州模拟)为争辩变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别做了争辩，利用回归分析的方法得到回归直线l1和l2，两人计算得相同，也相同，则下列结论正确的是( )
A．l1与l2重合
B．l1与l2确定平行
C．l1与l2相交于点(，)
D．无法推断l1和l2是否相交
解析：选C．由于回归直线经过样本点的中心(，)，故两直线都经过点(，)，而，相同不能得到，确定相同，故选C．
2．(2021·大连市双基测试)对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为＝0．8x－155．
x
196
197
200
203
204
y
1
3
6
7
m
则实数m的值为( )
A．8 B．8．2
C．8．4 D．8．5
解析：选A．依题意得＝(196＋197＋200＋203＋204)＝200，＝(1＋3＋6＋7＋m)＝，回归直线必经过样本中心点，于是有＝0．8×200－155，由此解得m＝8．故选A．
3．通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
由K2＝，
算得K2＝≈7．8．
附表：
P(K2≥k)
0．050
0．010
0．001
k
3．841
6．635
10．828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：选C．依据独立性检验的定义，由K2≈7．8>6．635，可知我们在犯错误的概率不超过0．01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C．
4．(2021·郑州市其次次质量猜想)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
4
5
6
7
8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
由表中数据，求得线性回归方程为＝－4x＋a．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B．由表中数据得＝6．5，＝80，由＝－4＋a，得a＝106，故线性回归方程为＝－4x＋106．将(4，90)，(5，84)，(6，83)，(7，80)，(8，75)，(9，68)分别代入回归方程可知有6个基本大事，因84<－4×5＋106＝86，68<－4×9＋106＝70，故(5，84)和(9，68)在直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为＝．
5．(2021·山东东营模拟)已知变量x与y之间的回归直线方程为＝－3＋2x，若xi＝17，则yi的值等于( )
A．3 B．4
C．0．4 D．40
解析：选B．依题意x＝＝1．7，
而直线＝－3＋2x确定经过样本点的中心(，)，
所以＝－3＋2＝－3＋2×1．7＝0．4，
∴yi＝0．4×10＝4．
6．(2021·山东济南市模拟考试)为了均衡训练资源，加大对偏远地区的训练投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年训练支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年训练支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0．15x＋0．2．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年训练支出平均增加________万元．
解析：由题意知，0．15(x＋1)＋0．2－(0．15x＋0．2)＝0．15．
答案：0．15
7．某高校“统计初步”课程的老师随机调查了选该课的一些同学状况，具体数据如下表：
专业
性别
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了检验主修统计专业是否与性别有关系，依据表中的数据，得到K2＝≈4．84．由于K2>3．841，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种推断出错的可能性为________．
解析：由于K2>3．841，所以有95%的把握断定主修统计专业与性别有关系，所以这种推断出错的可能性为5%．
答案：5%
8．已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝(x1＋x2＋…＋x10)，y0＝(y1＋y2＋…＋y10)”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)．
解析：当x0，y0为这10组数据的平均值，即x0＝，y0＝时，由于线性回归方程＝x＋必过样本点的中心(，)，因此(x0，y0)确定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(，)外，可能还有其他样本点，所以“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
9．(2021·贵阳市适应性考试)一次考试中，五名同学的数学、物理成果如下表所示：
同学
A1
A2
A3
A4
A5
数学成果x(分)
89
91
93
95
97
物理成果y(分)
87
89
89
92
93
(1)要从5名同学中选2人参与一项活动，求选中的同学中至少有一人的物理成果高于90分的概率；
(2)依据上表数据，用变量y与x的相关系数和散点图说明物理成果y与数学成果x之间线性相关关系的强弱．假如具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程(系数精确到0．01)；假如不具有线性相关关系，请说明理由．
参考公式：
相关系数r＝
回归直线的方程是：＝x＋，
其中＝，＝y－bx；
i是与xi对应的回归估量值．
参考数据：
x＝93，y＝90，
(xi－)2＝40，
(yi－)2＝24，
(xi－)(yi－)＝30，
≈6．32，≈4．90．
解：(1)从5名同学中任取2名同学的全部状况为：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共10种状况．
其中至少有一人的物理成果高于90分的状况有：
(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共7种状况，
故选中的同学中至少有一人的物理成果高于90分的概率P＝．
(2)变量y与x的相关系数是r＝≈≈0．97．
可以看出，物理成果与数学成果呈正相关，散点图如图所示：
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线四周，并且在逐步上升，故物理成果与数学成果正相关．
设y与x的线性回归方程是＝x＋，依据所给的数据，可以计算出＝＝0．75，＝90－0．75×93＝20．25，
所以y与x的线性回归方程是＝0．75x＋20．25．
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