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§3 弧度制
课时目标 1．理解角度制与弧度制的概念，把握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．把握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．
1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．
(3)角的弧度数求法：假如半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________打算．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____．
2．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝______ rad
2π rad＝________
180°＝____ rad
π rad＝______
1°＝________rad
≈0．017 45 rad
1 rad＝____________
≈57．30°＝57°18′
3．扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位
类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝________
l＝____
扇形的面积
S＝____
S＝____＝______
一、选择题
1．集合A＝与集合B＝的关系是( )
A．A＝B B．A⊆B
C．B⊆A D．以上都不对
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2 C． D．2sin 1
3．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其中心角的弧度数是( )
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )
A．∅
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A． B．－ C．π D．－π
6．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9
二、填空题
7．将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．
8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．
9．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝______．
10．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝
________________．
三、解答题
11．把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°；(2)π；(3)－4．
12．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
力气提升
13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的确定值为________．
14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是确定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要留意角的单位取弧度．
§3 弧度制 答案
学问梳理
1．(1) (2)半径长 1 rad (3)|α|＝ 终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° ° 3． αR αR2 lR
作业设计
1．A
2．C [r＝，∴l＝|α|r＝．]
3．A [设扇形半径为r，圆心角为α，
则，解得或．]
4．C [集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．]
5．D [∵－π＝－2π＋，
∴θ＝－π．]
6．B [设扇形内切圆半径为r，
则r＋＝r＋2r＝a．∴a＝3r，∴S内切＝πr2．
S扇形＝αr2＝××a2＝××9r2＝πr2．
∴S内切∶S扇形＝2∶3．]
7．－10π＋π
解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
∴－1 485°可以表示为－10π＋π．
8．25
解析 216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25．
9．π或π
解析 －π＋π＝π＝π，
－π＋π＝π＝π．
10．－，－，，
解析 由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，
－2π＝－π，－4π＝－π．
11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋，
∴－1 500°与π终边相同，是第四象限角．
(2)π＝2π＋π，
∴π与π终边相同，是第四象限角．
(3)－4＝－2π＋(2π－4)，
∴－4与2π－4终边相同，是其次象限角．
12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r．
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100．
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝＝2 rad．
∴当半径为10 cm，圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm2．
13．4
解析 设圆半径为r，则内接正方形的边长为r，圆弧长为4r．
∴圆弧所对圆心角|θ|＝＝4．
14．解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝αR＝ (cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin 60°
＝50 (cm2)．
(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴α＝，
∴S扇＝αR2＝··R2＝(c－2R)R
＝－R2＋cR＝－(R－)2＋．
当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是．
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