高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章-拓展资料：用定积分求面积的技巧.docx

用定积分求面积的技巧
求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题经常用到以下技巧.
一、巧选积分变量
求平面图形面积时，要留意选择积分变量，以使计算简便.
例1 求抛物线与直线围成的平面图形的面积．

　　解析：如图1，解方程组得两曲线的变点为．

　　方法一：选取横坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积应当是两部分之和，即．
　　方法二：选取纵坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即．
点评：从上述两种解法可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要留意对y积分时，积分函数应是，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为的形式，然后求得积分．另外还要留意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会转变.
二、巧用对称性
在求平面图形面积时，留意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段.
例2 求由三条曲线所围图形的面积.

解析：如图2，由于是偶函数，依据对称性，只算出轴右边的图形的面积再两倍即可．
　　解方程组和得交点坐标．
　　方法一：选择为积分变量，
则．
方法二：可以选择y为积分变量，求解过程请同学们自己完成.
点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.
三、分割计算
例3　求由抛物线及其在点和点处两条切线所围成的图形的面积．
解析：由，得，
，过点的切线方程为；
，过点的切线方程为．
又可求得两切线交点的横坐标为，
故所求面积．
点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x轴垂线，将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应留意把握这种分割的处理方法.