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2021年陕西省西安一中高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．（5分）复数z1=3+i，z2=1﹣i，则复数的虚部为（ ）
A． 2 B． ﹣2i C． ﹣2 D． 2i
【考点】： 复数代数形式的乘除运算．
【专题】： 计算题．
【分析】： 利用复数的除法，将复数的分母实数化即可．
【解析】： 解：∵z1=3+i，z2=1﹣i，
∴====1+2i，
∴复数的虚部为2．
故选A．
【点评】： 本题考查复数代数形式的乘除运算，将该复数的分母实数化是关键，属于基础题．
2．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合M={x∈R|（x﹣1）（x﹣2）＞0}和N={x∈R|x2+x＜0}的关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】： Venn图表达集合的关系及运算．
【专题】： 集合．
【分析】： 解不等式求出集合M，N，进而分析集合M，N之间的包含关系，可得答案．
【解析】： 解：∵集合M={x∈R|（x﹣1）（x﹣2）＞0}={x∈R|x＜1，或x＞2}，
集合N={x∈R|x2+x＜0}={x∈R|﹣1＜x＜0}，
∴N⊊M，
故正确表示集合M，N关系的韦恩（Venn）图是：
故选B
【点评】： 本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，以及集合包含关系，属于基础题．
3．（5分）2000辆汽车通过某一段大路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50，60）的汽车大约有（ ）
A． 30辆 B． 60辆 C． 300辆 D． 600辆
【考点】： 用样本的频率分布估量总体分布；频率分布直方图．
【专题】： 计算题；图表型．
【分析】： 依据频率分步直方图可以看出在[50，60）之间的小长方形的长和宽，做出对应的频率，用频率乘以样本容量得到结果．
【解析】： 解：∵有频率分步直方图可以看出
在[50，60）之间的频率是0.03×10=0.3，
∴时速在[50，60）的汽车大约有2000×0.3=600
故选D．
【点评】： 频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，本题是已知样本容量和频率求频数，这种问题会消灭在选择和填空中．
4．（5分）“”是“”的（ ）
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的推断．
【专题】： 规律型．
【分析】： 利用充分条件和必要条件的定义进行推断．
【解析】： 解：当时，成立．
当α=时，满足，但不成立．
故“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
【点评】： 本题主要考查才充分条件和必要条件的应用，比较基础．
5．（5分）已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），依据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（单位：cm3）（ ）
A． π B． 2π C． 4π D． 8π
【考点】： 由三视图求面积、体积．
【专题】： 空间位置关系与距离．
【分析】： 由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．
【解析】： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，
其底面是一个半径为1cm的半圆，故S=cm2，
高为h=2cm，
故柱体的体积V=Sh=πcm3，
故选：A
【点评】： 本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．
6．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽视不计），则油滴正好落入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】： 几何概型．
【专题】： 计算题；概率与统计．
【分析】： 本题考查的学问点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．
【解析】： 解：如图所示：
∵S正=1，S圆=π=
∴P===
故选：A
【点评】： 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与外形和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本大事对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本大事对应的“几何度量”N，最终依据几何概率的公式求解
7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+）（x∈R），为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象（ ）
A． 向左平移个单位 B． 向右平移个单位
C． 向左平移个单位 D． 向右平移个单位
【考点】： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】： 三角函数的求值．
【分析】： 利用诱导公式把函数f（x）=sin（2x+）变形为，f（x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），得到要得到函数g（x）的图象，只要把函数g（x）平移为f（x），转化即可．
【解析】： 解：∵f（x）=sin（2x+）变形为，f（x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），
∴平移函数g（x）=cos2x的图象，向右平移个单位长度，即可得到f（x）的图象．
为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象向左平移个单位．
故选：A．
【点评】： 本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是中档题．
8．（5分）已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＞0 成立，则a的取值范围是（ ）
A． （1，2] B． （1，2） C． （） D． [）
【考点】： 函数单调性的性质．
【专题】： 函数的性质及应用．
【分析】： 依据已知条件可知函数f（x）在R上单调递增，所以对于y=ax，a＞1；对于y=，a＜2，又ax＞1，且1≤，进而可得答案．
【解析】： 解：∵对任意x1≠x2，都有＞0 成立；
∴f（x1）﹣f（x2）与x1﹣x2同号，
即x1﹣x2＜0时，f（x1）﹣f（x2）＜0，
即x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）在R上是增函数；
∴x＜0时，f（x）=ax，a＞1；
x≥0时，f（x）=，a＜2，
又ax＞1，（）max=≥1，即a≥，
∴a∈[），
故选：D
【点评】： 考查单调性的定义，分段函数的单调性，指数函数的单调性，一次函数的单调性，以及对于单调性定义的利用．
9．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A． 20 B． 21 C． 200 D． 210
【考点】： 程序框图．
【专题】： 算法和程序框图．
【分析】： 执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=21时，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．
【解析】： 解：执行程序框图，有
s=0，i=1
s=1，
i=2，不满足条件i＞20，s=3，
i=3，不满足条件i＞20，s=6，
i=4，不满足条件i＞20，s=10，
i=5，不满足条件i＞20，s=15=1+2+3+4+5，
i=6，不满足条件i＞20，s=21=1+2+3+4+5+6，
…
观看规律可知，
i=20，不满足条件i＞20，s=1+2+3+…+20==210，
i=21，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．
故选：D．
【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，等差数列的求和，属于基本学问的考查．
10．（5分）设点P为椭圆+=1上的一点，F1，F2是该椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为（ ）
A． 5 B． 3 C． D．
【考点】： 椭圆的简洁性质．
【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】： 依题意，在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，|F1P|+|PF2|=2a=6，|F1F2|=4，利用余弦定理可求得|F1P|•|PF2|的值，从而可求得△PF1F2的面积．
【解析】： 解：∵椭圆+=1，∴a=3，b=，c=2．
又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°，F1、F2为左、右焦点，
∴|F1P|+|PF2|=2a=6，|F1F2|=4，
∴|F1F2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P|•|PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°
=36﹣3|F1P|•|PF2|=16，
∴|F1P|•|PF2|=，
∴=|F1P|•|PF2|sin60°
=××=．
故选：C．
【点评】： 本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简洁性质．解答的关键是通过勾股定理解三角形，考查计算力量、数形结合思想．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11．（5分）点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=的取值范围为 z≤﹣3或z≥2 ．
【考点】： 简洁线性规划．
【专题】： 不等式的解法及应用．
【分析】： 依据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．．
【解析】： 解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．
z=的几何意义表示为区域内的点（x，y）到点（1，3）的斜率，
由图象可知：
z≥kAD或z≤kBD，
∵kAD=，kBD=，
故z≥2或z≤﹣3，
故答案为：z≥2或z≤﹣3．
【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率公式，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
12．（5分）若x+y=8，则3x+2y的最小值为 8 ．
【考点】： 基本不等式．
【专题】： 不等式的解法及应用．
【分析】： 利用对数的运算法则、基本不等式的性质即可得出．
【解析】： 解：∵x+y=8，∴=16．
则3x+2y=，当且仅当3x=2y=4时取等号．
故答案为：．
【点评】： 本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于基础题．
13．（5分）（2011•深圳二模）定义已知a=30.3，b=0.33，c=log30.3，则（a*b）*c= c （结果用a，b，c表示）．
【考点】： 对数值大小的比较．
【专题】： 计算题；新定义．
【分析】： 欲求（a*b）*c，依据新定义的表达式，即要比较a、b、c的大小，首先分正负，依据对数函数与指数函数的定义得到c小于0，所以c最小，从而求得结果．
【解析】： 解：由对数函数定义得：c=log30.3＜0，明显a＞0，b＞0
则可取中间量1，a=30.3＞1，b=0.33＜1，综合上面得：a＞b＞c．
则（a*b）*c
=b*c
=c．
故答案为：c．
【点评】： 此题是指数函数与对数函数的综合应用题，同学做题时应会取中间量来推断两个数的大小．
14．（5分）直线ax+by+c=0与圆x2+y2=4相交于两点A、B，若c2=a2+b2，O为坐标原点，则= ﹣2 ．
【考点】： 向量在几何中的应用．
【专题】： 计算题．
【分析】： 设出点A，B坐标，进而表示出，把直线方程与圆方程联立分别利用韦达定理求得x1x2和y1y2的表达式，代入，依据c2=a2+b2，求得答案．
【解析】： 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）
则=x1x2+y1y2由方程ax+by+c=0与x2+y2=4联立
消去y：（a2+b2）x2+2acx+（c2﹣4a2）=0
∴x1x2=
同理，消去x可得：y1y2=
∴x1x2+y1y2=
又c2=a2+b2，得：x1x2+y1y2=﹣2
即=﹣2
故答案为：﹣2
【点评】： 本题主要考查了直线与圆相交的性质，以及向量的基本运算和向量在几何中的应用，同时考查了运算力量，属于中档题．
选做题（考生只能从A、B、C三小题中选做一题，若多做，则按所做的第一题评阅给分）
15．（5分）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则AB= ．
【考点】： 与圆有关的比例线段．
【专题】： 推理和证明．
【分析】： 利用切割线定理，求出圆的半径，通过直角三角形求解cos∠AOB，然后利用余弦定理求解AB即可．
【解析】： 解：由题意可知图形如图：PA是圆O的切线，切点为A，可得AC⊥PA，
PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，
延长PO交圆与D，
由切割线定理可知：PA2=PB•PD，设圆的半径为r，
则：4=1（2r+1），解得r=．
可得OB=OA=OD=，cos∠AOB===．
由余弦定理可得：AB2=OA2+OB2﹣2•OA•OBcos∠AOB==．
∴AB=．
故答案为：．
【点评】： 本题考查直线与圆的位置关系，切割线定理的应用，余弦定理的应用，考查计算力量．
16．（不等式选讲选做题）已知关于x的不等式|x﹣1|+|x|≤k无解，则实数k的取值范围是 （﹣∞，1） ．
【考点】： 确定值不等式的解法．
【专题】： 计算题；不等式的解法及应用．
【分析】： 通过去掉确定值符号化简不等式的左侧为函数的表达式，通过函数的最值求出k的范围．
【解析】： 解：令y=|x|+|x﹣1|=，
∴函数的最小值为1，
∴要使关于x的不等式|x|+|x﹣1|≤k无解，
则实数k的取值范围为k＜1．
故答案为：（﹣∞，1）．
【点评】： 本题考查确定值不等式的解法，函数的最值的应用，基本学问的考查．
17．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=，则直线l与曲线C的交点个数为 2 ．
【考点】： 简洁曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．
【专题】： 坐标系和参数方程．
【分析】： 分别把参数方程化为一般方程、极坐标方程化为直角坐标方程，把直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用判别式即可得出．
【解析】： 解：曲线C的参数方程为，化为=1．
直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=，开放化为=，∴y﹣x=2．
联立，化为5x2+16x﹣12=0，
△=162+4×5×12＞0，
则直线l与曲线C的交点个数为2．
故答案为：2．
【点评】： 本题考查了参数方程化为一般方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交转化为方程联立化为一元二次方程与判别式的关系，考查了计算力量，属于基础题．
三、解答题：共6道题，共75分．要求写出演算和推理过程．
18．（12分）函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，ϖ＞0，|φ|＜）在区间[﹣，]上的图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且=，求f（x）在（0，B]上的值域．
【考点】： 正弦函数的图象；正弦定理．
【专题】： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．
【分析】： （Ⅰ）由图可知，A=1，T=π，可求ω=2，由函数f（x）=Asin（ϖx+φ）过点（，0），可得φ的值，从而可得f（x）解析式．
（Ⅱ）由已知先求B的值，又f（x）=sin（2x+），由0，可得0≤f（x）≤1，即可求f（x）在（0，B]上的值域．
【解析】： 解：（Ⅰ）由图可知，A=1，T=π，则ω=2，…2分
∵函数f（x）=Asin（ϖx+φ）过点（，0）
∴φ=…4分
∴f（x）=sin（2x+）…5分
（Ⅱ）由=，得．
则cosB=即B= …（7分）
又f（x）=sin（2x+），由0，则0≤sin（2x+）≤1…（11分）
故0≤f（x）≤1，即值域是[0，1]…（12分）
【点评】： 本题主要考察了正弦函数的图象和性质，正弦定理的应用，属于基本学问的考查．
19．（12分）如图所示，凸多面体ABCED中，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=，CE=2，F为BC的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE；
（ III）求三棱锥F﹣ADB的体积．
【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【专题】： 空间位置关系与距离．
【分析】： （Ⅰ）取BE的中点G，利用GF为三角形BCE的中位线，证明四边形GFAD为平行四边形，从而证明AF∥平面BDE．
（Ⅱ）先证AF⊥平面BCE，由AF∥GD可得GD⊥平面BCE，进而证明平面BDE⊥平面BCE．
（Ⅲ）由AB2+AC2=BC2，得AF=，由AD⊥平面ABC，四边形GFAD为平行四边形，得四边形GFAD为矩形，由AD⊥平面ABC，AF⊥平面BCE，得BF⊥平面GFAD，由VF﹣ADB=VB﹣ADGF，利用等积法能求出三棱锥F﹣ADB的体积．
【解析】： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：取BE的中点G，连接GF，GD，
∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴AD∥EC，且平面ABC⊥平面ACED，
∵GF为△BCE的中位线，
∴GF∥EC∥DA，GF=CE=DA，
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴AF∥GD，又GD⊂平面BDE，
∴AF∥平面BDE．（4分）
（Ⅱ）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC，
又CE⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴AF⊥EC，
又BC∩EC=C，∴AF⊥平面BCE，
∵AF∥GD，∴GD⊥平面BCE，
又GD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCE．（8分）
（Ⅲ）解：∵AC=AD=AB=1，BC=，CE=2，F为BC的中点，
∴AB2+AC2=BC2，
∴AF=，
∵AD⊥平面ABC，四边形GFAD为平行四边形，
∴四边形GFAD为矩形，
∴S矩形GFAD=AF×AD==，
∵AD⊥平面ABC，AF⊥平面BCE，∴BF⊥平面GFAD，
连结DF，三棱锥F﹣ADB的体积：
VF﹣ADB=VB﹣ADGF===．（12分）
【点评】： 本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，留意空间思维力量的培育．
20．（12分）欣欣服装厂在2010年第一季度共生产A、B、C三种品牌的男女休闲服装2000件，如下表所示
现从这些服装中随机抽取一件进行检验，已知抽到品牌B女服装的概率是0.19．
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在生产的这些服装中随机抽取48件进行检验，问应在品牌C中抽取多少件？
（3）已知y≥245，z≥245，求品牌C中生产的女服装比男服装多的概率．
【考点】： 分层抽样方法；相互独立大事．
【专题】： 应用题．
【分析】： （1）因抽到品牌B女服装的概率是0.19，而A、B、C三种品牌的男女休闲服装2000件，由概率的定义可直接求x，
（2）由于生产的是三种不同的品牌的服装，要抽取一个容量为48的样本，利用分层抽样中抽样比与总体中的抽样比相等即可求
（3）利用古典概型公式，接受列举法可求概率，留意y≥245，z≥245，y+z=500，且y，z∈N，条件的使用．
【解析】： 解：（1）由于所以x=380
（2）品牌C生产的件数为y+z=2000﹣（373+377+380+370）=500，
现用分层抽样的方法在这2000件服装中抽取48件，应在品牌C中抽取的件数为：件
（3）设品牌C中生产的女服装件数比男服装多的大事为A，品牌C中女、男服装数记为（y，z）；
由（2）知y+z=500，且y，z∈N，基本大事空间包含的基本大事有：（245，255），（246，254），（247，253），（248，252），（249，251），（250，250），（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共11个
大事A包含的基本大事有：
（251，249）、（252，248）、（253，247）、（254，246）、（255，245）共5个
所以
【点评】： 本题与现实生活紧密联系，考查了概率、分层抽样等学问，要求同学能从现实生活或其他学科中提出具有肯定价值的统计问题，理解随机抽样的必要性与重要性．
21．（12分）己知数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*），
（Ⅰ）证明数列{ }是等差数列；
（Ⅱ）求数列{an）的通项公式；
（Ⅲ）设bn=n（n+1）an 求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】： 数列的求和；等差关系的确定．
【专题】： 等差数列与等比数列．
【分析】： （I）由an+1= （n∈N*）变形两边取倒数即可得出；
（II）由（I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（III）由（Ⅱ）知，bn=n（n+1）an=n•2n，利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．
【解析】： 解：（Ⅰ）∵数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*），
∴，即，
∴数列是公差为1的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=n+1，
∴．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，bn=n（n+1）an=n•2n，
∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
2Sn=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，
两式相减得：﹣Sn=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，
∴Sn=（n﹣1）•2n+1+2．
【点评】： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形的力量，考查了推理力量与计算力量，属于难题．
22．（13分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．
【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】： 综合题．
【分析】： （1）先设椭圆的标准方程，将点M代入得到一个方程，依据离心率得到一个关系式，再由a2=b2+c2可得到a，b，c的值，进而得到椭圆的方程．
（2）假设存在直线满足条件，设直线方程为y=k1（x﹣2）+1，然后与椭圆方程联立消去y得到一元二次方程，且方程肯定有两根，故应△大于0得到k的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达式，再由，可确定k1的值，从而得解．
【解析】： 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
∵e==，且经过点M，
∴，
解得c2=1，a2=4，b2=3，
故椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y=k1（x﹣2）+1，
由题意可设直线l的方程为y=k1（x﹣2）+1，
由，
得（3+4k12）x2﹣8k1（2k1﹣1）x+16k12﹣16k1﹣8=0．
由于直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
所以△=[﹣8k1（2k1﹣1）]2﹣4•（3+4k12）•（16k12﹣16k1﹣8）＞0．
整理得32（6k1+3）＞0．
解得k1＞﹣，
又，
由于，即，
所以=．
即．
所以，解得．
由于A，B为不同的两点，所以．
于是存在直线l1满足条件，其方程为．…（12分）
【点评】： 本题主要考查椭圆的基本性质和直线与椭圆的综合题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的重点题型，要着重复习．
23．（14分）对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线
y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线．已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）．
（Ⅰ）争辩函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=1，摸索究函数f（x）与函数g（x）=﹣x2+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．
【考点】： 利用导数争辩函数的单调性；函数单调性的推断与证明．
【专题】： 计算题；压轴题；新定义．
【分析】： （Ⅰ）f′（x）=ex（ax+1+a），当a＞0时，f′（x）＞0⇔函数f（x）在区间（﹣1﹣，+∞）上是增函数，在区间（﹣∞，﹣1﹣）上是减函数；a=0时，f′（x）＞0，函数f（x）是区间（﹣∞，+∞）上的增函数；当a＜0时，f′（x）＞0⇔ax＞﹣a﹣1，函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1﹣）上是增函数，在区间（﹣1﹣，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）若存在，则ex（x+1）≥kx+m≥﹣x2+2x+1恒成立，令x=0，得m=1，因此x2+（k﹣2）x≥0恒成立，由此及彼能推导出函数f（x）与函数g（x）=﹣x2+2x+1存在“分界线”．
【解析】： 解：（Ⅰ）f′（x）=ex（ax+1+a），（2分）
当a＞0时，f′（x）＞0⇔ax＞﹣a﹣1，即x＞﹣1﹣，
函数f（x）在区间（﹣1﹣，+∞）上是增函数，
在区间（﹣∞，﹣1﹣）上是减函数；（3分）
当a=0时，f′（x）＞0，函数f（x）是区间（﹣∞，+∞）上的增函数；（5分）
当a＜0时，f′（x）＞0⇔ax＞﹣a﹣1，即x＜﹣1﹣，
函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1﹣）上是增函数，在区间（﹣1﹣，+∞）上是减函数．（7分）
（Ⅱ）若存在，则ex（x+1）≥kx+m≥﹣x2+2x+1恒成立，
令x=0，则1≥m≥1，
所以m=1，（9分）
因此：kx+1≥﹣x2+2x+1恒成立，即x2+（k﹣2）x≥0恒成立，
由△≤0得到：k=2，
现在只要推断ex（x+1）≥2x+1是否恒成立，（11分）
设∅（x）=ex（x+1）﹣（2x+1），
由于：∅′（x）=ex（x+2）﹣2，
当x＞0时，ex＞1，x+2＞2，∅′（x）＞0，
当x＜0时，ex（x+2）＜2ex＜2，∅′（x）＜0，
所以∅（x）≥∅（0）=0，即ex（x+1）≥2x+1恒成立，
所以函数f（x）与函数g（x）=﹣x2+2x+1存在“分界线”．
方程为y=2x+1．（14分）
【点评】： 本题考查导数函数单调性中的应用，解题时要认真审题，留意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数的性质进行求解．
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