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高二其次学期期末考试
数学试题
说明：
1.考试时间120分钟，满分150分。2.将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或签字笔答在答题纸上。
试卷Ⅰ（共 60 分）
一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分。请把答案涂在答题卡上）
1.设集合， ，则=
A. B． C. D．
2.已知命题，命题，则
A．命题是假命题 B．命题是真命题
C．命题是真命题 D．命题是假命题
3. 设复数（是虚数单位），则=
A. B. C. D.
4.参与市数学调研抽测的某校高三同学成果分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，可见部分信息如下，据此计算得到：参与数学抽测的人数、分数在内的人数分别为
A． B． C． D．
5.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的为
A． B． C． D．
6.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是
A.2 B. C. D.3
7.四位外宾参观某场馆需配备两名安保人员.六人依次进入校门，为平安起见，首尾确定是两名安保人员，外宾甲乙要排在一起，则六人的入门挨次的总数是
A． 12 B． 24 C． 36 D． 48
8.若开放式中只有第六项的二项式系数最大，则开放式中的常数项是
A．180 B．120 C．90 D．45
9. 设数集，，且都是集合的子集，假如把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是
A. B. C. D.
10. 在中，三个内角所对的边为，若，则（ ）
A． B． C．4 D．
11.设，分别为双曲线的左，右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于，两点，且满足，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
12.已知函数的两个极值点分别为，且，点表示的平面区域内存在点满足，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D．
试卷Ⅱ（共 90 分）
二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）
13.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，
甲说：丙没有考满分；
乙说：是我考的；
丙说：甲说真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 ．
14.已知菱形的边长4，，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为 ．
15.已知点在渐近线方程为的双曲线上，其中，分别为其左、右焦点．若的面积为16且，则的值为 ．
16.若，函数与有相同的最小值，则 ．
三、解答题（本题共6个小题 共计70分。请把解答过程写在答题纸上）
17、（本小题满分10分）
已知数列与，若且对任意正整数n满足，数列的前n项和
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和
18、（本小题满分12分）
某学校为了解该校高三班级同学在市一练考试的数学成果状况，随机从该校高三文科与理科各抽取50名同学的数学成果，作出频率分布直方图如下，规定考试成果内为优秀。
（1）由以上频率分布直方图填写下列列联表，若按是否优秀来推断，是否有99%的把握认为该校的文理科数学成果有差异。
（2）某高校派出2名教授对该校随机抽取的同学中一练数学成果在140分以上的同学进行自主招生面试，每位教授至少面试一人，每位同学只能被一位教授面试，若甲教授面试的同学人数为，求的分布列和数学期望。
19. （本小题满分12分）
如图,四棱锥中, ，
.为的中点，
.
(Ⅰ)求的长 ；
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
21、（本小题满分12分）
已知。
（1）当时，求的单调区间；
（2）设有两个极值点，且，若恒成立，求的最大值。
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图所示，为圆的直径，，为圆的切线，
，为切点.
⑴ 求证：；
⑵ 若圆的半径为，求的值.
23.(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.
⑴ 以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
⑵ 已知，圆上任意一点，求面积的最大值.
24、（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
已知
（1）求的最大值；
（2）若的最大值为5，求的最小值。
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，使得，再过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
21、（本小题满分12分）
已知。
（1）当时，求的单调区间；
（2）设有两个极值点，且，若恒成立，求的最大值。
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图所示，为圆的直径，，为圆的切线，
，为切点.
⑴ 求证：；
⑵ 若圆的半径为，求的值.
23.(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.
⑴ 以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；
⑵ 已知，圆上任意一点，求面积的最大值.
24、（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
已知
（1）求的最大值；
（2）若的最大值为5，求的最小值。
高二期末考试数学答案
17.
18题
19.解：（Ⅰ）如图，连接交于，由于,即为等腰三角形，又平分，故.以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.则，而，得,又，故由于,可设，由为边的中点，得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
.设平面的法向量为,的法向量为,
由,
得由此可取
由,
得由此可取
从而法向量的夹角的余弦值为
，
故二面角的正弦值为.
20．解：(1)由题意知点(3，－1)在椭圆C上，即＋＝1, ①
又椭圆的离心率为，所以＝＝()2＝，②
联立①②可解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.(5分)
(2)由于直线l的方程为x＝－2，设P(－2，y0)，y0∈(－，)，
当y0≠0时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，明显x1≠x2，
联立则＋＝0，即＝－·，
又PM＝PN，即P为线段MN的中点，
故直线MN的斜率为－·＝，
又l′⊥MN，所以直线l′的方程为y－y0＝－(x＋2)，
即y＝－(x＋)，
明显l′恒过定点(－，0)；
当y0＝0时，直线MN即x＝－2，此时l′为x轴亦过点(－，0)．
综上所述，l′恒过定点(－，0)．(12分)
21.(1)
22.解： (1) 连接是圆的两条切线，， 又为直径，，. 5分
(2)由，，∽，
，. 10分
23.解：（1）圆的参数方程为（为参数）
所以一般方程为. 2分
圆的极坐标方程：. 5分
（2）点到直线：的距离为 7分
的面积
所以面积的最大值为 10分
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