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§9 三角函数的简洁应用
课时目标 1．会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题．2．会用三角函数解决一些简洁的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝____________；
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________________________________________；
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________________________________________．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝A＋k，ymin＝－A＋k．
(2)A＝，k＝．
(3)ω可由__________确定，其中周期T可观看图像获得．
(4)由ωx1＋φ＝____，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝______，ωx4＋φ＝____________，ωx5＋φ＝______中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中______现象的一种数学模型，可以用来争辩很多问题，在刻画周期变化规律、猜想其将来等方面都发挥着格外重要的作用．
一、选择题
1．如图所示，单摆从某点开头来回摇摆，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摇摆一次所需的时间为( )
A． s B． s C．50 s D．100 s
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，依据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
4．如图所示，设点A是单位圆上的确定点，动点P从点A动身在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是( )
5．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15．1
12．1
9．1
11．9
14．9
11．9
8．9
12．1
经长期观看，函数y＝f(t)的图像可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图像．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
二、填空题
6．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
7．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
8．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摇摆时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摇摆的周期是1 s时，线长l等于________．
三、解答题
9．如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，假如当水轮上点P从水中毁灭时(图中点P0)开头计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
10．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10．0
13．0
9．9
7．0
10．0
13．0
10．1
7．0
10．0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asin ωt＋B的图像．
(1)试依据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般状况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4．5米是平安的，假如某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够平安进港？若该船欲当天平安离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽视离港所用的时间)
力气提升
11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为( )
12．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60]．
1．三角函数模型是争辩周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在争辩物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观看数据，发觉是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)依据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
§9 三角函数的简洁应用 答案
学问梳理
1． 2．(3)ω＝ (4)0 π π 2π
3．周期
作业设计
1．A 2．A
3．D [由于f＝f，
所以直线x＝是函数f(x)图像的对称轴．
所以f＝3sin＝3sin＝±3．
因此选D．]
4．C [d＝f(l)＝2sin ．]
5．A [在给定的四个选项A、B、C、D中，我们不妨代入t＝0及t＝3，简洁看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A．]
6．26,27,28
解析 ∵T＝，又∵<<，
∴8π<m<9π，且m∈Z，∴m＝26,27,28．
7．80
解析 T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
8．
解析 T＝＝1．∴ ＝2π．∴l＝．
9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为
＝．
由OP在时间t(s)内所转过的角为t＝t．
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2．
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－．
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2．
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s．
10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，
因此ω＝＝．
又ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10．
∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4．5＋7，
即y＝3sint＋10≥11．5，t∈[0,24]，
∴sint≥，t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能平安进港．
若欲于当天平安离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
11．C [∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝．
按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin(t－)，
∴d＝2|sin(t－)|．
当t＝0时，d＝，排解A、D；
当t＝时，d＝0，排解B．]
12．10sin
解析 将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，
得φ＝0；当t＝30时，d＝10，
可得ω＝，所以d＝10sin ．
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