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泉州一中2021届高考适应性训练
数学试题（理工类）（2021.5.23）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，集合，，则 ( )
A． B． C． D．
2．已知复数z＝3+i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( )．
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设都是非零向量，下列四个条件中，确定能使成立的是 ( )
A. B. C. D.
4．等比数列{an}中,a3=6,前三项和,则公比q的值为 （ ）
A．1 B． C．1或 D．或
5. 下列四个命题中正确命题的是（ ）
A．学校抽取每个班级座号为21-30号的同学检查作业完成状况，这是分层抽样；
B．可以通过频率分布直方图中最高小矩形的高来估量这组数据的众数；
C．设随机变量听从正态分布，若，则；
D．在散点图中，回归直线至少经过一个点。
6．已知，，则“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．执行如图所示的程序框图，假如输入，的值均为2，最终输出的值为，在区间上随机选取一个数D，则的概率为( )
A． B．
C． D．
8．正项等差数列中的、是函数的极值点,则 （ ）
A． B． C． D．1
9. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，过点作抛物线的切线交轴于点，过点作切线的垂线交轴于点，则 （ ）
A． B． C． D．
10. 定义：若对定义域D内的任意两个，均有成立，则称函数是上的“平缓函数”。则以下说法正确的有： （ ）
①为的“平缓函数”；②为R上的“平缓函数”
③是为R上的“平缓函数”；④已知函数为R上的“平缓函数”，若数列对总有。
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
11. 若开放式中含的项的系数为 .
12.已知实数满足约束条件,则的最大值为 .
13. 已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为.若,则该双曲线的离心率为 .
14．已知函数的部分图象如下图,其中分别是的角所对的边,,则的面积= .
15.已知单位向量两两的夹角均为，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系O-xyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作有下列命题：
①已知，则·=0；
②已知其中xyz≠0，则当且仅当x=y时，向量，的夹角取得最小值；
③已知
④已知则三棱锥O—ABC的表面积，其中真命题有 （写出全部真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分13分）
已知分别在射线(不含端点)上运动,,在中,角、、所对的边分别是、、.
(Ⅰ)若、、依次成等差数列,且公差为2.求的值;
(Ⅱ)若,,试用表示的周长,并求周长的最大值.
17．（本小题满分13分）
某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为，；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为，，且两人租用的时间都不超过4小时．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
18. （本小题满分13分）
如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在线段AD上是否存在点Q，使得直线CQ和平面BCP所成角的正弦值为？若存在，请说明点Q位置；
若不存在，请说明不存在的理由。
19. （本小题满分13分）
已知椭圆的中心为，右顶点为，在线段上任意选定一点，过点作与轴垂直的直线交于两点.
（Ⅰ）若椭圆的长半轴为2，离心率，
（ⅰ）求椭圆的标准方程；
（ⅱ）若，点在的延长线上，且成等比数列，试证明直线与相切；
（Ⅱ）试猜想过椭圆上一点的切线方程的一种方法，再加以证明.
20. （本小题满分14分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，试求的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的，方程恒有三个不等根，试求实数b的取值范围．
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，假如多2做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知直线，若矩阵所对应的变换把直线变换为它自身。
（Ⅰ）求矩阵A； （Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵。
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数.
（Ⅰ）写出曲线的一般方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，且，求的值．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
函数的最小值为M；
（Ⅰ）求实数M的值；
（Ⅱ）若不等式,(其中)恒成立，求实数的取值范围.
泉州一中2021届高考适应性训练参考答案
数学试题（理工类）（2021.5.23）
一、选择题：1~5 BDACB 6~10 ADDCC
二、填空题:11. 56 12. 7 .13. 14．15. ②③
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.解(Ⅰ)、、成等差,且公差为2,
、. 又,,
, ,
恒等变形得 ,解得或.又,
(Ⅱ)在中,, ,,.
的周长
,
又,,
当即时,取得最大值.
17．解： （1）甲、乙所付费用可以为、元、元…………………1分
甲、乙两人所付费用都是元的概率为…………………2分
甲、乙两人所付费用都是元的概率为…………………3分
甲、乙两人所付费用都是元的概率为
故甲、乙两人所付费用相等的概率为………………6分
（2）随机变量的取值可以为……………………………7分
故的分布列为：
……………………………………………11分
的数学期望是
………………………………………………………13分
18.解：（Ⅰ）证明：取的中点，连接．…………………1分
∵，∴ …………………2分
又四边形是菱形，且，
∴是等边三角形，∴
又，∴，…………………4分
又，∴ …………………5分
（Ⅱ）由，，易求得，，
∴， …………………6分
以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直坐标系，
则，，，，
∴，，…………………7分
设平面的一个法向量为，则，，
∴，∴，，∴…………………10分
假设存在点Q满足题意，设，由于点Q在线段AD上，则设
，解得，所以
…………………11分
依题意，代入解得。
所以存在点Q满足题意，点Q为AD中点。 …………………13分
19.解：（Ⅰ）（ⅰ）由于所以
所以椭圆的标准方程为：。
（ⅱ）由已知条件得：
设，则，所以.
由于成等比数列，
所以，即所以.
直线的方程为：代入椭圆，整理得：
由于，所以直线与相切.
（Ⅱ）在轴上取点，连结，则直线为点处的切线方程，
证明：设直线的方程为：（其中）
把代入，
整理得：，
，
由于点在椭圆上，所以，
又，
把代入得：
所以直线为所求的切线.
20.解：（1）当时，．
当时，，可得在（0,1）上递增，在（1，e）上递减；
当时，，可得在上递增．
（2）可以求得在上递增，在上递减，在上递增．
若方程有三个不等根，则必需在上有两个不等根，在上有一个根．
①当时，令，则；令，得．所以当时，是增函数，当时，是减函数，所以若在上有两个不等根，此时应满足，得．
又由于当时，可得，所以．
②当时，令，则；令，得．
所以当时，是增函数．所以若在上有一个根，则应满足，解得．
由①、②可得，．
又对于任意的，方程恒有三个不等根，则．
综上所述，．
21．解： （Ⅰ） 设为直线上任意一点其在的作用下变为
则 --------------------3 分
代入得：
其与完全一样得
则矩阵 ---------------------------------5分
（Ⅱ）由于，所以矩阵M的逆矩阵为． -------------7分
（2）解: （Ⅰ）由得：，， ………………2分
即，
所以曲线的参数方程：（为参数） ………………3分
（Ⅱ）将直线代入圆的方程
化简得，由韦达定理
。
由直线参数方程的几何意义知
代入韦达定理得 ，解得或者
（若用直角坐标同等给分）
（3）解：（Ⅰ） 由于，等号成立当且仅当即，∴M=3.
（Ⅱ）由于≤
当且仅当时取 “”号，即当时，的最大值为，∴只需得.
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