江苏省扬州中学2022届高三上学期开学考试-数学(文)-Word版含答案.docx

扬州中学2022届高三8月开学考试
数 学 （文科）试 题
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
2021．8
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）
1.已知集合，则= ▲ ．
2.已知命题，则为 ▲ ．
3.若复数（其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 ▲ .
4. 设向量，若，则实数的值为 ▲ .
5. 曲线在点处的切线方程为 ▲ ．
6. 在平面直角坐标系中，直线与圆相交于、两点，则弦的长等于 ▲ .
7. 记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为 ▲ ．
8.若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为 ▲ .
9.已知为其次象限角，，则＝ ▲ .
10.若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值为 ▲ .
11. 在菱形中，,,,,
则 ▲ ．
12. 已知函数，则不等式的解集为 ▲ .
13.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，假如对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为 ▲ .
14.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围
为 ▲

二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15．（本小题满分14分）
已知；
（1）求； （2）求．

16. （本小题满分14分）
已知命题:关于实数的方程有两个不等的负根；命题:关于实数的方程无实根．
（1） 若命题“或”真，“且”假，求实数的取值范围．
（2） 若关于的不等式的解集为M；命题为真命题时，的取值集合为N，当时，求实数的取值范围．

17. （本小题满分14分）
已知向量，函数
（1）求的最小正周期；
（2）在中，分别是角A、B、C的对边，若的面积为，求.

18. （本小题满分16分）
右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调整仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上， G，H在弦AB上)．过O作OP^AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）．
（1）按下列要求建立函数关系式：
(i)设∠POF＝θ (rad)，将S表示成θ的函数；
(ii)设MN＝x (m)，将S表示成x的函数；
E
B
G
A
N
D
M
C
F
O
H
P
(第18题图)

（2）请选择上面的某一种方案来求： 当MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

19.（本小题满分16分）
已知函数 ，
（1）求函数的定义域和值域；
（2）设（其中为参数），求的最大值。

20．(本小题满分16分)
设函数，.
（1）当时，函数与在处的切线相互垂直，求的值；
（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；
（3）是否存在实数,使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.

高三数学（文科）答案2021年8月27日
1、 2. 3.－1 4. 5.
6. 7. (－∞，－3] 8. 9． 10.
11.－12 12. 13. 14.
15.解：（1）
（2）
16.解： （1）若方程有两不等的负根，则 解得
即命题:，
若方程无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0
解得：1＜m＜3.即命题:1＜m＜3.
由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.∴ 解得：m≥3或1＜m≤2.
（2）（2）∵ ∴
，解得：．
17

18.解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．
(i)在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．
在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，
故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)．
即所求函数关系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．
………… 4分
(ii)由于MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．
在Rt△ONF中，NF＝＝＝．
在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，
故S＝EF×FG＝x．
即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6.5． ………… 8分
（2）方法一：选择(i)中的函数模型：
令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，
则f ′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．………… 10分
由f ′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．
由于0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．
设cosα＝，且α为锐角，
则当θ∈(0，α)时，f ′(θ)＞0 ，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f ′(θ)＜0 ，f(θ)减，
所以当θ＝α，即cosθ＝时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分
方法二：选择(ii)中的函数模型：
由于S＝ ，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)，
则f ′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)． ……… 10分
由于当0＜x＜时 ，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当＜x＜时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝时，f(x)取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分
19．解：由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为 …………2分
又由≥0 得值域为 …………6分
（2）由于
令，则，
∴()+t=
由题意知g(a)即为函数的最大值。
留意到直线是抛物线的。对称轴
当0时，，所以
当0时，递增，所以
当0时，
…………………………16分
20．解：（1）当时，，在处的切线斜率，
由，在处的切线斜率，，.……………4分
（2）易知函数的定义域为，
又，
由题意，得的最小值为负，（注：结合函数图象同样可以得到），，，（注：结合消元利用基本不等式也可）.…9分
（3）令，其中
则，设

在单调递减，在区间必存在实根，不妨设
即，可得（*）
在区间上单调递增，在上单调递减，所以，
，代入（*）式得
依据题意恒成立.
又依据基本不等式,,当且仅当时,等式成立
所以,.代入（*）式得,,即………………16分(以下解法供参考，请酌情给分)
解法2：，其中
依据条件对任意正数恒成立
即对任意正数恒成立
且，解得且，
即时上述条件成立此时.
解法3：，其中
要使得对任意正数恒成立，
等价于对任意正数恒成立，即对任意正数恒成立，设函数，则的函数图像为开口向上，与正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，依据题意，抛物线只能与轴有一个交点，即，所以.