1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十三)平面对量的数量积(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2022大连模拟)a,b为平面对量,已知a=(4,3),2a-b=(3,18),则向量a,b夹角的余弦值等于()A.865B.-865C.1665D.-1665【解析】选D.b=2a-(3,18)=(8,6)-(3,18)=(5,-12),设a,b的夹角为,则cos=20-36513=-1665.2.已知下列结论:(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2;(ab)2=a2b2
2、;若ab,则ab=|a|b|;若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则ab.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.设a与b的夹角为,对于,结论明显正确;对于,(ab)2=(|a|b|cos)2=|a|2|b|2cos2|a|2|b|2=a2b2,所以不正确;对于,当a,b同向时有ab=|a|b|;当a,b反向时有ab=-|a|b|,故不正确;对于,由|a+b|=|a-b|,得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0,所以ab,故正确.3.已知平面对量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60,则“m=1”是“(a-mb)a”的()A.充分不
3、必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当m=1时,(a-b)a=a2-ab=1-12cos60=0,故(a-b)a;反之当(a-mb)a时,有(a-mb)a=a2-mab=1-m(12cos60)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)a”的充要条件.4.(2022温州模拟)在ABC中,C=90,且AC=BC=3,点M满足BM=2MA,则CMCB等于()A.2B.3C.4D.6【解析】选B.方法一:如图,以C为原点,CA,CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),设M(x0,y0),由于BM=2MA,所以x0=2(3-
4、x0),y0-3=2(-y0),所以x0=2,y0=1,所以CMCB=(2,1)(0,3)=3,故选B.方法二:由于BM=2MA,所以BM=23BA,所以CBCM=CB(CB+BM)=|CB|22+CB23BA=9+23332-22=3.5.(2022宝鸡模拟)已知向量a=(cos,sin),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是()A.42,0B.4,42C.16,0D.4,0【解析】选C.依据题意,由于向量a=(cos,sin),向量b=(3,-1),那么可知|2a-b|2=4a2+b2-4ab=4+4-4(3cos-sin)=8-8sin3-,所以最小值为0,最大值为
5、16,故答案为C.【加固训练】已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么PAPB的最小值为()A.-4+2B.-3+2C.-4+22D.-3+22【解析】选D.设APB=2,|PO|=x,则PAPB=|PA|PB|cos2=|PA|2cos2=(|PO|2-1)(1-2sin2)=(x2-1)1-2x2=x2-2-1+2x2-3+22,当且仅当x2=2x2,即x=42时取等号.6.已知非零向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|BC=0且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形【思路点拨
6、】留意AB|AB|,AC|AC|是单位向量,利用向量加法的平行四边形法则及平面对量的数量积变形计算,由所得结果进行推断.【解析】选A.由于AB|AB|AC|AC|=ABAC|AB|AC|=|AB|AC|cosBAC|AB|AC|=cosBAC=12,所以BAC=60,又AB|AB|+AC|AC|与以BAC为顶角的菱形的一条对角线共线,即是BAC的平分线,由题意,得BAC的平分线与BC边垂直,所以AB=AC,故ABC为等边三角形.【加固训练】(2022景德镇模拟)在ABC中,若|BA+BC|=|AC|,则ABC的外形为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不能确定【解析】选B.依
7、据向量加法的平行四边形法则可知|BA+BC|等于AC边上的中线的二倍,所以由|BA+BC|=|AC|知AC边的中线长等于AC长度的一半,所以ABC为直角三角形.7.(2022青岛模拟)在直角坐标平面内,已知向量OB=(1,0),OC=(0,1),A为动点,|CA|=12,则OA与OB夹角的最小值为()A.6B.4C.3D.2【解析】选C.|CA|=12,所以A点在以C(0,1)为圆心,以12为半径的圆上,如图OA与圆C相切时,AOB最小,易得AOC=6,所以AOB=3,故选C.【误区警示】解答本题易误选A,出错的缘由有二,一是不能利用|CA|=12确定A点的轨迹,使解题思路受阻,而猜A;二是误
8、把AOC的大小当作OA与OB的夹角.8.(力气挑战题)已知平面内的向量OA,OB满足:|OA|=|OB|=2,OA与OB的夹角为2,又OP=1OA+2OB,011,122,则点P的集合所表示的图形的面积是()A.8B.4C.2D.1【思路点拨】建立平面直角坐标系,转化为坐标运算,求点P的坐标满足的不等式组,画出其表示的平面区域,然后求其面积.【解析】选B.如图,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(0,2),设P(x,y),则由OP=1OA+2OB,得(x,y)=1(2,0)+2(0,2)=(21,22),即x=21,y=22.又由于011
9、,122,所以0x2,2y4.所以点P的集合为(x,y)|0x2,2y4,它表示正方形区域(如图中阴影部分所示),所以点P的集合所表示的图形的面积为22=4.【加固训练】已知O是ABC内部一点,OA+OB+OC= 0,ABAC=23,且BAC=30,则AOB的面积为()A.2B.1C.12D.13【解析】选D.由OA+OB+OC=0,得O为ABC的重心,SAOB=13SABC.又ABAC=|AB|AC|cos30=23,得|AB|AC|=4,SABC=12|AB|AC|sin30=1.故SAOB=13.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2022绍兴模拟)已知两个非零向量a与b,定义|ab
10、|=|a|b|sin,其中为a与b的夹角.若a=(-3,4),b=(0,2),则|ab|的值为.【解析】|a|=(-3)2+42=5,|b|=02+22=2,ab=-30+42=8,所以cos=852=45,又由于0,所以sin=1-cos2=1-452=35,故依据定义可知|ab|=|a|b|sin=5235=6.答案:610.(2021山东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知OA=(-1,t),OB=(2,2),若ABO=90,则实数t的值为.【解析】AB=OB-OA=(2,2)-(-1,t)=(3,2-t),由于ABO=90,所以ABOB,所以ABOB=0,32+2(2-t)=0,所以t
11、=5.答案:511.(2022济宁模拟)已知|a|=|b|=2,a与b的夹角为60,则a+b在a上的投影为.【解析】(a+b)a=a2+ba=4+|b|a|cos60=6.令两向量(a+b),a的夹角为,则由(a+b)a=|a+b|a|cos,得|a+b|cos=3,则a+b在a上的投影为3.答案:312.如图,半圆的直径AB=4,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(PA+PB)PC的最小值为.【思路点拨】留意PA+PB=2PO,而PO与PC共线反向,且|OC|=2,引入参数用OC表示OP,PC,利用平面对量的数量积公式转化为函数的最值.【解析】设OP=OC
12、,则PC=(1-)OC,由O为AB的中点可得PA+PB=2PO=-2OP.所以(PA+PB)PC=-2OPPC=-2OC(1-)OC=-2(1-)|OC|2=-8(1-)=8-122-14.故当=12时,(PA+PB)PC取得最小值,最小值为8-14=-2.答案:-2三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.已知两个不共线的向量a,b,它们的夹角为,且|a|=3,|b|=1,x为正实数.(1)若a+2b与a-4b垂直,求tan.(2)若=6,求|xa-b|的最小值及对应的x的值,并推断此时向量a与xa-b是否垂直?【解析】(1)由题意,得(a+2b)(a-4b)=0,即a2-2ab-
13、8b2=0,得32-231cos-812=0,得cos=16,又(0,),所以sin=1-cos2=1-162=356,所以tan=sincos=35.(2)|xa-b|=9x-362+14,故当x=36时,|xa-b|取得最小值为12.此时a(xa-b)=xa2-ab=369-31cos6=0,故向量a与xa-b垂直.14.(2022郑州模拟)已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),其中0.(1)求证:a+b与a-b相互垂直.(2)若ka+b与ka-b(k0)的长度相等,求-.【解析】(1)由于(a+b)(a-b)=a2-ab+ba-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos
14、2+sin2)2-(cos2+sin2)2=1-1=0.所以a+b与a-b相互垂直.(2)ka+b=(kcos+cos,ksin+sin),ka-b=(kcos-cos,ksin-sin),所以|ka+b|=k2+2kcos(-)+1,|ka-b|=k2-2kcos(-)+1,由于|ka+b|=|ka-b|,所以k2+2kcos(-)+1=k2-2kcos(-)+1,有2kcos(-)=-2kcos(-),由于k0,故cos(-)=0,又由于0,0-1时,cos-(x2-1)(2x-2)2=-x+122,由于-x+122-22,故cos-22;当x-22,故cos-22,所以cos=-22,解得=34.【一题多解】本题(2)还可有如下解法:令a与b的夹角为,由|a+xb|a+b|,得(a+xb)2(a+b)2,由于|a|=2,|b|=1,所以x2+22xcos-22cos-10,对一切实数x恒成立,所以=8cos2+82cos+40,即(2cos+1)20,故cos=-22,由于0,所以=34.关闭Word文档返回原板块
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
