2021高考数学(文理通用)一轮课时作业23-平面向量的数量积.docx

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课时提升作业(二十三)
平面对量的数量积
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2022·大连模拟)a,b为平面对量,已知a=(4,3),2a-b=(3,18),则向量a,b夹角的余弦值等于(　　)
A.865 B.-865 C.1665 D.-1665
【解析】选D.b=2a-(3,18)
=(8,6)-(3,18)=(5,-12),
设a,b的夹角为θ,则
cosθ==20-365×13=-1665
2.已知下列结论:
①(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;
②(a·b)2=a2·b2;
③若a∥b,则a·b=|a||b|;
④若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则a⊥b.
其中正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.设a与b的夹角为θ,对于①,结论明显正确;对于②,(a·b)2=(|a||b|cosθ)2=|a|2|b|2cos2θ≤|a|2|b|2=a2·b2,所以②不正确;
对于③,当a,b同向时有a·b=|a||b|;当a,b反向时有a·b=-|a|·|b|,故③不正确;
对于④,由|a+b|=a-b|,得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0,所以a⊥b,故④正确.
3.已知平面对量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则“m=1”是“(a-mb)⊥a”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.当m=1时,(a-b)·a=a2-a·b=1-1×2×cos60°=0,故(a-b)⊥a;反之当(a-mb)⊥a时,有(a-mb)·a=a2-ma·b=1-m·(1×2×cos60°)=1-m=0,则m=1.综上“m=1”是“(a-mb)⊥a”的充要条件.
4.(2022·温州模拟)在△ABC中,∠C=90°,且AC=BC=3,点M满足BM→=2MA→,则CM→·CB→等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
【解析】选B.方法一:如图,以C为原点,CA,CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(0,3),设M(x0,y0),
由于BM→=2MA→,
所以x0=2(3-x0),y0-3=2(-y0),
所以x0=2,y0=1,
所以CM→·CB→=(2,1)·(0,3)=3,故选B.
方法二:由于BM→=2MA→,所以BM→=23BA→,
所以CB→·CM→=CB→·(CB→+BM→)=|CB→| 22+CB→·23BA→=9+23×3×32×-22=3.
5.(2022·宝鸡模拟)已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(3,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是(　　)
A.42,0 B.4,42 C.16,0 D.4,0
【解析】选C.依据题意,由于向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(3,-1),那么可知|2a-b|2=4a2+b2-4a·b=4+4-4(3cosθ-sinθ)=8-8sinπ3-θ,
所以最小值为0,最大值为16,故答案为C.
【加固训练】
已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么PA→·PB→的最小值为(　　)
A.-4+2 B.-3+2
C.-4+22 D.-3+22
【解析】选D.设∠APB=2θ,|PO→|=x,
则PA→·PB→=|PA→||PB→|·cos2θ=|PA→|2cos2θ=
(|PO→|2-1)·(1-2sin2θ)=(x2-1)·1-2x2=x2-2-1+2x2≥-3+22,当且仅当x2=2x2,即x=42时取等号.
6.已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|+AC→|AC→|·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC
为(　　)
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
【思路点拨】留意AB→|AB→|,AC→|AC→|是单位向量,利用向量加法的平行四边形法则及平面对量的数量积变形计算,由所得结果进行推断.
【解析】选A.由于AB→|AB→|·AC→|AC→|=AB→·AC→|AB→||AC→|
=|AB→||AC→|cos∠BAC|AB→||AC→|=cos∠BAC=12,
所以∠BAC=60°,
又AB→|AB→|+AC→|AC→|与以∠BAC为顶角的菱形的一条对角线共线,
即是∠BAC的平分线,
由题意,得∠BAC的平分线与BC边垂直,
所以AB=AC,故△ABC为等边三角形.
【加固训练】
(2022·景德镇模拟)在△ABC中,若|BA→+BC→|=|AC→|,则△ABC的外形为(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.不能确定
【解析】选B.依据向量加法的平行四边形法则可知|BA→+BC→|等于AC边上的中线的二倍,所以由|BA→+BC→|=|AC→|知AC边的中线长等于AC长度的一半,所以△ABC为直角三角形.
7.(2022·青岛模拟)在直角坐标平面内,已知向量OB→=(1,0),OC→=(0,1),A为动点,|CA→|=12,则OA→与OB→夹角的最小值为(　　)
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
【解析】选C.|CA→|=12,
所以A点在以C(0,1)为圆心,以12为半径的圆上,
如图OA与圆C相切时,∠AOB最小,易得∠AOC=π6,
所以∠AOB=π3,故选C.
【误区警示】解答本题易误选A,出错的缘由有二,一是不能利用|CA→|=12确定A点的轨迹,使解题思路受阻,而猜A;二是误把∠AOC的大小当作OA→与OB→的夹角.
8.(力气挑战题)已知平面内的向量OA→,OB→满足:|OA→|=|OB→|=2,OA→与OB→的夹角为π2,又OP→=λ1OA→+λ2OB→,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2,则点P的集合所表示的图形的面积是(　　)
A.8 B.4 C.2 D.1
【思路点拨】建立平面直角坐标系转化为坐标运算,求点P的坐标满足的不等式组,画出其表示的平面区域,然后求其面积.
【解析】选B.如图,以O为原点,OA→所在直线为x轴,OB→所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(0,2),设P(x,y),
则由OP→=λ1OA→+λ2OB→,得(x,y)=λ1(2,0)+λ2(0,2)=(2λ1,2λ2),即x=2λ1,y=2λ2.
又由于0≤λ1≤1,1≤λ2≤2,所以0≤x≤2,2≤y≤4.
所以点P的集合为{(x,y)|0≤x≤2,2≤y≤4},它表示正方形区域(如图中阴影部分所示),
所以点P的集合所表示的图形的面积为2×2=4.
【加固训练】
已知O是△ABC内部一点,OA→+OB→+OC→= 0,AB→·AC→=23,且∠BAC=30°,则△AOB的面积为(　　)
A.2 B.1 C.12 D.13
【解析】选D.由OA→+OB→+OC→=0,得O为△ABC的重心,S△AOB=13S△ABC.
又AB→·AC→=|AB→||AC→|cos30°=23,
得|AB→||AC→|=4,S△ABC=12|AB→||AC→|sin30°=1.
故S△AOB=13.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2022·绍兴模拟)已知两个非零向量a与b,定义|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为a与b的夹角.若a=(-3,4),b=(0,2),则|a×b|的值为　　　　.
【解析】|a|=(-3)2+42=5,|b|=02+22=2,
a·b=-3×0+4×2=8,
所以cosθ==85×2=45,
又由于θ∈[0,π],所以sinθ=1-cos2θ=1-452=35,故依据定义可知
|a×b|=|a|·|b|·sinθ=5×2×35=6.
答案:6
10.(2021·山东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知OA→=(-1,t),OB→=(2,2),若∠ABO=90°,则实数t的值为　　　　.
【解析】AB→=OB→-OA→=(2,2)-(-1,t)=(3,2-t),由于∠ABO=90°,所以AB→⊥OB→,
所以AB→·OB→=0,3×2+2×(2-t)=0,所以t=5.
答案:5
11.(2022·济宁模拟)已知|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a上的投影为　　　　.
【解析】(a+b)·a=a2+b·a=4+|b||a|cos60°=6.令两向量(a+b),a的夹角为θ,则由(a+b)·a=|a+b||a|cosθ,得|a+b|cosθ==3,则a+b在a上的投影为3.
答案:3
12.如图,半圆的直径AB=4,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(PA→+PB→)·PC→的最小值为　　　　.

思路点拨】留意PA→+PB→=2PO→,而PO→与PC→共线反向,且|OC→|=2,引入参数用OC→表示OP→,PC→,利用平面对量的数量积公式转化为函数的最值.
【解析】设OP→=λOC→,则PC→=(1-λ)OC→,由O为AB的中点可得PA→+PB→=2PO→=-2OP→.
所以(PA→+PB→)·PC→=-2OP→·PC→=-2λOC→·(1-λ)OC→=-2λ(1-λ)|OC→|2=
-8λ(1-λ)=8λ-122-14.
故当λ=12时,(PA→+PB→)·PC→取得最小值,最小值为8×-14=-2.
答案:-2

三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.已知两个不共线的向量a,b,它们的夹角为θ,且|a|=3,|b|=1,x为正实数.
(1)若a+2b与a-4b垂直,求tanθ.
(2)若θ=π6,求|xa-b|的最小值及对应的x的值,并推断此时向量a与xa-b是否垂直?
【解析】(1)由题意,得(a+2b)·(a-4b)=0,
即a2-2a·b-8b2=0,
得32-2×3×1×cosθ-8×12=0,
得cosθ=16,又θ∈(0,π),
所以sinθ=1-cos2θ=1-162=356,
所以tanθ=sinθcosθ=35.
(2)|xa-b|==9x-362+14,
故当x=36时,|xa-b|取得最小值为12.
此时a·(xa-b)=xa2-a·b
=36×9-3×1×cosπ6=0,
故向量a与xa-b垂直.
14.(2022·郑州模拟)已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中
0<α<β<π.
(1)求证:a+b与a-b相互垂直.
(2)若ka+b与ka-b(k≠0)的长度相等,求β-α.
【解析】(1)由于(a+b)·(a-b)
=a2-a·b+b·a-b2
=a2-b2=|a|2-|b|2
=(cos2α+sin2α)2-(cos2β+sin2β)2
=1-1=0.
所以a+b与a-b相互垂直.
(2)ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),
ka-b=(kcosα-cosβ,ksinα-sinβ),
所以|ka+b|=k2+2kcos(β-α)+1,
|ka-b|=k2-2kcos(β-α)+1,
由于|ka+b|=|ka-b|,
所以k2+2kcos(β-α)+1=k2-2kcos(β-α)+1,
有2kcos(β-α)=-2kcos(β-α),
由于k≠0,故cos(β-α)=0,
又由于0<α<β<π,0<β-α<π,
所以β-α=π2.
15.(力气挑战题)已知平面对量a,b满足|a|=2,|b|=1,
(1)若|a-b|=2,试求a与b的夹角的余弦值.
(2)若对一切实数x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,求a与b的夹角.
【解析】(1)由于|a|=2,|b|=1,|a-b|=2.
所以|a-b|2=4,
即a2-2a·b+b2=4,2-2a·b+1=4,
所以a·b=-12.
设a与b的夹角为θ,
则cosθ==-122×1=-24.
(2)令a与b的夹角为θ.
由|a+xb|≥|a+b|,
得(a+xb)2≥(a+b)2,
化为(x2-1)|b|2+(2x-2)|a|·|b|cosθ≥0,
由于|a|=2,|b|=1,
所以(x2-1)+(2x-2)2cosθ≥0,
当x=1时,式子明显成立;
当x>1时,cosθ≥-(x21)(2x-2)2=-x+122,
由于-x+122<-22,故cosθ≥-22;
当x<1时,cosθ≤-(x2-1)(2x-2)2=-x+122,
由于-x+122>-22,故cosθ≤-22,
所以cosθ=-22,解得θ=3π4.
【一题多解】本题(2)还可有如下解法:
令a与b的夹角为θ,由|a+xb|≥|a+b|,
得(a+xb)2≥(a+b)2,
由于|a|=2,|b|=1,
所以x2+22xcosθ-22cosθ-1≥0,
对一切实数x恒成立,
所以Δ=8cos2θ+82cosθ+4≤0,
即(2cosθ+1)2≤0,故cosθ=-22,
由于θ∈[0,π],所以θ=34π.
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