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第十章 第一节
一、选择题
1．接受系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组接受简洁随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7 B．9
C．10 D．15
[答案] C
[解析] 接受系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即l＝30，第k组的号码为(k－1)30＋9，令451≤(k－1)30＋9≤750，而k∈Z，解得16≤k≤25，则满足16≤k≤25的整数k有10个．
2．(文)(2022·东营模拟)某校选修乒乓球课程的同学中，高一班级有30名，高二班级有40名．现用分层抽样的方法在这70名同学中抽取一个样本，已知在高一班级的同学中抽取了6名，则在高二班级的同学中应抽取的人数为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
[答案] B
[解析] 设高二同学中抽取x人，则＝，∴x＝8.
(理)(2021·安庆二中段考)某校共有同学2000名，各班级男、女生人数如表，已知在全校同学中随机抽取1名，抽到二班级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名同学，则应在三班级抽取的同学人数为( )
一班级
二班级
三班级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
A.24 B．18
C．16 D．12
[答案] C
[解析] 由条件知，二班级女生有2000×0.19＝380名，
∴三班级有同学2000－(373＋377＋380＋370)＝500名，
由分层抽样定义知，在三班级应抽取500×＝16名．
3．(2021·新课标Ⅰ理，3)为了解某地区的中学校生视力状况，拟从该地区的中学校生中抽取部分同学进行调查，事先已了解到该地区学校、学校、高中三个学段同学的视力状况有较大差异，而男女生视力状况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．简洁随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
[答案] C
[解析] 由于学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．
4．(文)一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工的某种状况，打算实行分层抽样的方法，抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为( )
A. B．
C. D．
[答案] C
[解析] 本题主要考查分层抽样的特点．据题意管理人员这一层中每个个体被抽到的概率等于从总体中抽取10个样本每个个体被抽取的概率，即其概率为＝.
(理)(2022·潍坊模拟)据报道，某退役卫星由于体积过大，通过大气层后不能完全燃烧，降到地球的概率约为，为了争辩同学对这件事情的看法，某中学对此事进行了问卷调查，共收到2000份有效问卷，得到如下结果：
对卫星撞地
球的态度
关注并
不担忧
关注有
点担忧
关注且
格外担忧
不关注
人数(人)
1000
500
x
300
若从收到的2000份有效问卷中，接受分层抽样的方法抽取20份，抽到关注且格外担忧的问卷份数为( )
A．2 B．3
C．5 D．10
[答案] A
[解析] 由题意x＝200，依分层抽样定义知，抽取关注且格外担忧的问卷份数为×20＝2.
5．为规范学校办学，省训练厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名同学，现将该班同学随机编号，用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A．13 B．19
C．20 D．51
[答案] C
[解析] 由系统抽样的原理知抽样的间隔为＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即7号、20号、33号、46号，从而可知选C.
6．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，依据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格．由于不当心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，依据以上信息，可得C产品的数量是( )
产品类别
A
B
C
产品数量(件)
1300
样本容量(件)
130
A.900件 B．800件
C．90件 D．80件
[答案] B
[解析] 设A、C产品数量分别为x件、y件，则由题意可得：∴∴
故选B.
二、填空题
7．一个总体分为A、B两层，其个体数之比为41，用分层抽样法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数是________．
[答案] 40
[解析] 设x、y分别表示A、B两层的个体数，由题设易知B层中应抽取的个体数为2，
∴＝，解得y＝8或y＝－7(舍去)，∵xy＝41，∴x＝32，x＋y＝40.
8．(文)(2022·烟台模拟)某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，接受分层抽样的方法从中抽取一个容量为若干户的样本，若高收入家庭抽取了25户，则低收入家庭被抽取的户数为________．
[答案] 19
[解析] 设从低收入家庭中应抽取x户，按分层抽样的定义知，＝，∴x＝19.
(理)(2022·江西师大附中模拟)某校在科艺节时进行高一数学竞赛，将考生的成果分成90分以下、90～120分、120～150分三种状况进行统计，发觉三个成果段的人数之比依次为531，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m＝________.
[答案] 135
[解析] 由题意得＝，∴m＝135.
9．(文)某工厂对一批产品进行抽样检测，依据抽样检测后的产品净重(单位：g)数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是[96,106]，若样本中净重在[96,100)的产品个数是24，则样本中净重在[98,104)的产品个数是________．
[答案] 60
[解析] 设样本容量为x，则x·(0.05＋0.1)×2＝24，∴x＝80，∴样本中净重在[98,104)的产品个数是x·(0.1＋0.15＋0.125)×2＝80×0.375×2＝60.
(理)(2021·福建漳州模拟)某校高三班级的同学共1000人，一次测验成果的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解状况，则80～90分数段应抽取________人．
[答案] 20
[解析] 各分数段人数的比例为0.010.020.030.04＝1234，故抽取50人，80～90分数段应抽取×50＝20(人)．
三、解答题
10．(文)为了了解某市工厂开展群众体育活动的状况，拟接受分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
[解析] (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为＝，所以从A、B、C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)记从A区抽取的两个工厂为A1、A2，从B区抽取的三个工厂为B1、B2、B3，从C区抽取的两个工厂为C1、C2，从这七个工厂中随机抽取两个，基本大事空间
Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}中共有21个基本大事，其中大事A＝“这两个工厂中至少有一个来自A区”中含有11个基本大事，∴P(A)＝.
(理)某中学的高二(1)班男同学有45名，女同学有15名，老师依据分层抽样的方法组建了一个4人的课外爱好小组．
(1)求某同学被抽到的概率及课外爱好小组中男、女同学的人数；
(2)经过一个月的学习、争辩，这个爱好小组打算选出两名同学做某项试验，方法是先从小组里选出1名同学做试验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
(3)试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，其次次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由．
[解析] (1)P＝＝，∴某同学被抽到的概率为.
设有x名男同学，则＝，∴x＝3.
∴男、女同学的人数分别为3,1.
(2)从3名男同学和1名女同学中任选2名同学有C＝6种不同选法，其中恰有一名女同学的选法有3种，
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为
P＝＝.
(3)1＝＝71，
2＝＝71，
s＝＝4，
s＝＝3.2.
∵s<s，∴其次位同学的试验更稳定.
一、选择题
11．(2022·安徽马鞍山第一次质检)高三(1)班有同学52人，现将全部同学随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号同学在样本中，则样本中还有一个同学的编号是( )
A．8 B．13
C．15 D．18
[答案] D
[解析] 由于系统抽样是等距抽样，44－31＝13，所以5＋13＝18.
12．(文)一次关于“手机垃圾短信”的调查，在A、B、C、D四个单位回收的问卷依次成等差数列，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本，若在B单位抽取20份问卷，则在D单位抽取的问卷份数是( )
A．30份 B．35份
C．40份 D．65份
[答案] C
[解析] 由条件可设从A、B、C、D四个单位回收问卷数依次为20－d,20,20＋d,20＋2d，则(20－d)＋20＋(20＋d)＋(20＋2d)＝100，∴d＝10，
∴D单位回收问卷20＋2d＝40份．
(理)某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，打算接受分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a、b、c，且a、b、c构成等差数列，则其次车间生产的产品数为( )
A．800 B．1000
C．1200 D．1500
[答案] C
[解析] 由于a、b、c成等差数列，所以2b＝a＋c，
∴＝b，∴其次车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，依据分层抽样的性质可知，其次车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1200双皮靴．
13．(2022·德州模拟)某学校从高三全体500名同学中抽取50名同学做学习状况问卷调查，现将500名同学从1到500进行编号，求得间隔数k＝＝10，即每10人抽取一个人，在1～10中随机抽取一个数，假如抽到的是6，则从125～140中应取的数是( )
A．126 B．136
C．126或136 D．126和136
[答案] D
[解析] 由系统抽样的学问知，抽取的号码为6＋10(k－1)(1≤k≤10)，
由125≤6＋10(k－1)<140得，13≤k≤14，
当k＝13时，抽取号码为126，
当k＝14时，抽取号码为136，故选D.
14．(文)(2022·广东)已知某地区中学校生人数和近视状况分别如图1和图2所示，为了解该地区中学校生的近视形成缘由，用分层抽样的方法抽取2%的同学进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．200,20 B．100,20
C．200,10 D．100,10
[答案] A
[解析] 由题意知，该地区中学校生共有10000名，故样本容量为10000×2%＝200.由分层抽样知应抽取高中同学的人数为200×＝40，其中近视人数为40×50%＝20，故选A.
(理)(2022·广州综合测试一)某中学从某次考试成果中抽取若干名同学的分数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80,100]范围内的数据16个，则其中分数在[90,100]范围内的样本数据有( )
A．5个 B．6个
C．8个 D．10个
[答案] B
[解析] 分数段在[80,100]范围内占全部分数段的百分比为(0.025＋0.015)×10＝0.4，其中分数在[90,100]范围内的人数占全部分数段的百分比为0.015×10＝0.15，因此分数在[90,100]范围内占分数在[80,100]范围内的百分比为＝，因此分数在[90,100]范围内样本数据有16×＝6，故选B.
二、填空题
15．(2022·锦州期中)某大路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参与市里召开的科学技术大会．假如接受系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体；假如参会人数增加1个，则在接受系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n＝________.
[答案] 6
[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
当样本容量为(n＋1)时，总体需剔除1人，系统抽样的间隔为，由于必需是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.
三、解答题
16．(2021·贵州六校联考)为了参与2021贵州省高中篮球竞赛，某中学打算从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出12人组成男子篮球队，代表该地区参赛，四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表：
班级
高三(7)班
高三(17)班
高二(31)班
高二(32)班
人数
12
6
9
9
(1)现实行分层抽样的方法是从这四个班中抽取运动员，求应分别从这四个班抽出的队员人数；
(2)该中学篮球队奋力拼搏，获得冠军．若要从高三(7)班和高三(17)班抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言，求选出的两名队员来自同一班的概率．
[分析] (1)“分层抽样”应按比例从各班抽取队员；(2)计算概率可先选择一种编码方式，列举全部基本大事，再求概率．
[解析] (1)由题知，应从高三(7)班中抽出12×＝4人，
应从高三(17)班中抽出12×＝2人，
应从高二(31)班中抽出12×＝3人，
应从高二(32)班中抽出12×＝3人．
(2)记高三(7)班抽出的4人为A1、A2、A3、A4，高三(17)班抽出的两人为B1、B2，则从这6个人中抽出2人的基本大事有：(A1，A2)、(A1，A3)、(A1，A4)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A2，A3)、(A2，A4)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A3，A4)、(A3，B1)、(A3，B2)、(A4，B1)、(A4，B2)、(B1，B2)共15个．
记“抽出的2人来自同一班”的大事C，则大事C含：(A1，A2)、(A1，A3)、(A1，A4)、(A2，A3)、(A2，A4)、(A3，A4)、(B1，B2)共7个基本大事，
故P(C)＝.
(理)(2021·哈尔滨四校统考)某中学为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟法庭”、“街舞”、“动漫”、“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：
社团
相关人数
抽取人数
模拟法庭
24
a
街舞
30
5
动漫
b
4
话剧
12
c
(1)求a，b，c的值；
(2)若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担当指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率．
(3)若从“话剧”和“街舞”社团已抽取的人中选3人参与某项竞赛，记参赛选手中“话剧”社团的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
[分析] (1)由分层抽样各层抽样比相等，可求a，b，c的值；
(2)先列出从两个社团抽取的人中选2人的全部基本大事，“这2人分别来自两个社团”的含义是每个社团一个人，简洁数出．
(3)从两社团已抽取的7人中选3人参赛，其中含“话剧”社团人数ξ听从超几何分布．
[解析] (1)由表可知抽取比例为＝，故a＝4，b＝24，c＝2.
(2)从“动漫”与“话剧”社团分别抽取了4人、2人，从中任选2人共有C＝15种不同选法．
这两人分别来自这两个社团，共有4×2＝8种不同选法，
∴所求概率P＝.
(3)从“街舞”社团抽取了5人，从“话剧”社团抽取了2人，从这7人中选3人参赛，其中所含“话剧”社团人数ξ的取值为0,1,2，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
17．(文)(2022·哈三中一模)某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把同学的平常成果按“百分制”折算，排出前n名同学，并对这n名同学按成果分组，第一组[75,80)，其次组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、其次组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.
(1)请在图中补全频率分布直方图；
(2)若B高校打算在成果高的第4,5组中用分层抽样的方法抽取6名同学，并且分成2组，每组3人进行面试，求95分(包括95分)以上的同学在同一个小组的概率．
[解析] (1)由于第四组的人数为60，所以总人数为：5×60＝300，由直方图可知，第五组人数为：0.02×5×300＝30人，又＝15为公差，所以第一组人数为：45人，其次组人数为：75人，第三组人数为：90人．
(2)第四组中抽取人数：×60＝4人，第五组中抽取人数：×30＝2人，所以95分以上的共2人．设第四组抽取的四人为A1，A2，A3，A4，第五组抽取的2人为B1，B2，这六人分成两组有两种状况，状况一：B1，B2在同一小组有4种可能结果，状况二：B1，B2不在同一小组有6种可
能结果，总共10种可能结果，所以两人在一组的概率为P＝＝.
(理)(2022·广东)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.
依据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组
频数
频率
[25,30]
3
0.12
(30,35]
5
0.20
(35,40]
8
0.32
(40,45]
n1
f1
(45,50]
n2
f2
(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
(2)依据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)依据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．
[解析] (1)由题中数据可知n1＝7，n2＝2，f1＝＝0.28，f2＝＝0.08.
(2)
(3)依据样本频率分布表可知，每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率0.2.
设所取的4人中，日加工零件数据在区间(30,35]的人数为ξ，则ξ～B(4,0.2)．
所以P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4
＝1－0.4096＝0.5904，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为0.5904.
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