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第4讲 二次函数性质的再争辩与幂函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是 ( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
解析 二次函数图像的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.
答案 A
2．(2022·郑州检测)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x) ( )
A．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增
B．在(－∞，3)上递增
C．在[1,3]上递增
D．单调性不能确定
解析 由已知可得该函数的图像的对称轴为x＝2，又二次项系数为1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．
答案 A
3．若a＜0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是 ( )
A．5－a＜5a＜0.5a B．5a＜0.5a＜5－a
C．0.5a＜5－a＜5a D．5a＜5－a＜0.5a
解析 5－a＝a，由于a＜0时，函数y＝xa单调递减，且＜0.5＜5，所以5a＜0.5a＜5－a.
答案 B
4．(2021·蚌埠模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于 ( )
A．－ B．－
C．c D.
解析 ∵f(x1)＝f(x2)且f(x)的图像关于x＝－对称，∴x1＋x2＝－.
∴f(x1＋x2)＝f＝a·－b·＋c＝c.
答案 C
5．(2022·山东师大附中期中)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的 ( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－＝2a≤2，即a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
答案 B
二、填空题
6．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．
答案 y＝(x－2)2－1
7．当α∈时，幂函数y＝xα的图像不行能经过第________象限．
解析 当α＝－1、1、3时，y＝xα的图像经过第一、三象限；当α＝时，y＝xα的图像经过第一象限．
答案 二、四
8．若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是________．
解析 令f(x)＝x2－11x＋30＋a.
结合图像有∴0<a≤.
答案
三、解答题
9．(2021·绵阳模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；
(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．
解 (1)由题意有f(－1)＝a－b＋1＝0，
且－＝－1，∴a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，
单调增区间为[－1，＋∞)．
(2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，
转化为x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．
设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.
∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．
10. (2022·辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示，请依据图像：
(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．
解 (1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．
(2)设x＞0，则－x＜0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，
∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)，
∴f(x)＝
(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴为x＝a＋1，
当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；
当1＜a＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1为最小值；当a＋1＞2，即a＞1时，g(2)＝2－4a为最小值．
综上，g(x)min＝
力气提升题组
(建议用时：25分钟)
11．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( )
A．(0,1) B．(0,1]
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析 用特殊值法．令m＝0，由f(x)＝0得x＝适合，排解A，B.令m＝1，由f(x)＝0得x＝1适合，排解C.
答案 D
12．(2022·武汉模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋b(1＜a＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则下列说法正确的是 ( )
A．f(x1)＜f(x2)
B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定
解析 f(x)的对称轴为x＝－1，由于1＜a＜3，
则－2＜1－a＜0，若x1＜x2≤－1，则x1＋x2＜－2，
不满足x1＋x2＝1－a且－2＜1－a＜0；若x1＜－1，
x2≥－1时，|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a＞0(1＜a＜3)，
此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)＞f(x1)；
若－1≤x1＜x2，则此时x1＋x2＞－2，又由于f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)＜f(x2)．
答案 A
13．(2021·南昌模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是________．
解析 当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图像在y＝x的图像的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图像，由图像可知α＜1时满足题意．
答案 (－∞，1)
14．(2021·雅安模拟)已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)>0.
(1)求证：－2<<－1；
(2)若x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，求|x1－x2|的取值范围．
(1)证明 当a＝0时，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0，
则f(0)·f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0与已知冲突，因而a≠0，
则f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0
即<0，从而－2<<－1.
(2)解 x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2＋4×＝·2＋＋＝2＋.
∵－2<<－1，∴≤(x1－x2)2<，
∴≤|x1－x2|<，即|x1－x2|的取值范围是.
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