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[A级 基础达标]
1. [2021·鞍山高二质检]方程(x＋y－1)＝0所表示的曲线的轨迹是( )
解析：原方程等价于或x2＋y2＝4.其中当x＋y－1＝0时，需有意义，等式才成立，即x2＋y2≥4，此时它表示直线x＋y－1＝0上不在圆x2＋y2＝4内的部分；当x2＋y2＝4时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D.
答案：D
2. 若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为( )
A. y2＝8x B. y2＝－8x
C. x2＝8y D. x2＝－8y
解析：由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.
答案：C
3. [2021·泉州模拟]已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，假如M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是( )
A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线的一支 D. 抛物线
解析：由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，设椭圆方程：＋＝1(其中a>b>0)．连接MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a>|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．
答案：B
4. 设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A. y2＝2x B. (x－1)2＋y2＝4
C. y2＝－2x D. (x－1)2＋y2＝2
解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
所以|PM|＝＝.
即|PM|2＝2，即P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：D
5. 长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，＝2，则点C的轨迹是( )
A. 线段 B. 圆
C. 椭圆 D. 双曲线
解析：设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①
又＝2，
所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
即②
把②代入①式整理可得：x2＋y2＝1.
故选C.
答案：C
6. 已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )
A. y2－＝1(y≤－1) B. y2－＝1(y≥1)
C. x2－＝1(x≤－1) D. x2－＝1(x≥1)
解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，
又由于|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，
所以|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，
故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．
又c＝7，a＝1，b2＝48，
所以点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．
答案：A
7. [2021·福州模拟]直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________．
解析：直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a,0)，B(0,2－a)，设AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1.
答案：x＋y＝1(x≠0且x≠1)
8. 由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________．
解析：由题意及圆的相关性质，由于∠APB＝60°，可知∠APO＝30°，设P(x，y)，连接OA，则OA⊥PA.
在Rt△OAP中，sin∠APO＝，
所以＝，整理得轨迹方程x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
9. 设抛物线C1的方程为y＝x2，它的焦点F关于原点的对称点为E.若曲线C2上的点到E、F的距离之差的确定值等于6，则曲线C2的标准方程为________．
解析：方程y＝x2可化为x2＝20y，它的焦点为F(0,5)，所以点E的坐标为(0，－5)，依据题意，知曲线C2是焦点在y轴上的双曲线，设方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝6，a＝3，又c＝5，b2＝c2－a2＝16，
所以曲线C2的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
10. 已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点．求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程．
解：由题设知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y＝(x＋) ①，
直线A2Q的方程为y＝(x－) ②.
联立①②，解得交点坐标为，即③，
则x≠0，|x|<.
而点P(x1，y1)在双曲线－y2＝1上，所以－y＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0.
11. 如图，直角三角形ABC的顶点A(－2,0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求BC边所在直线方程；
(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
解：(1)∵kAB＝－，AB⊥BC，
∴kCB＝.∴BC：y＝x－2.
(2)在上式中，令y＝0，得C(4,0)．∴圆心M(1,0)．
又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
(3)∵P(－1,0)，M(1,0)，
∵圆N过点P(－1,0)，∴PN是该圆的半径．
又∵动圆N与圆M内切，∴|MN|＝3－|PN|，
即|MN|＋|PN|＝3.
∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆．
∴a＝，c＝1，b＝＝.
∴轨迹方程为x2＋y2＝1.
12. [2022·湛江模拟]设M、N为抛物线C：y＝x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若|AB|＝1.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．
解：(1)设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的方程分别为y＝2mx－m2，y＝2nx－n2，则A(，0)，B(，0)．
设P(x，y)，由得①
由于|AB|＝1，所以|n－m|＝2，
即(m＋n)2－4mn＝4，将①代入上式，得
y＝x2－1.
∴点P的轨迹方程为y＝x2－1.
(2)证明：设直线MN的方程为y＝kx＋b(b>0)．
联立方程
消去y，得x2－kx－b＝0.
所以m＋n＝k，mn＝－b.②
点P到直线MN的距离
d＝，
|MN|＝|m－n|，
∴S△MNP＝d·|MN|
＝|k()－mn＋b|·|m－n|
＝·(m－n)2·|m－n|＝2.
即△MNP的面积为定值2.
[B级 知能提升]
1. [2021·苏州质检]已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为( )
A. x2－＝1(x>1) B. x2－＝1(x<－1)
C. x2＋＝1(x>0) D. x2－＝1(x>1)
解析：设另两个切点为E、F，如图所示，
则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.
从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|
＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，
∴P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．
又∵a＝1，c＝3，∴b2＝8.
故方程为x2－＝1(x>1)．
答案：A
2. 设P是圆x2＋y2＝100上的动点，点A(8,0)，线段AP的垂直平分线交半径OP于M点，则点M的轨迹为________．
解析：如图，设M(x，y)，由于l是AP的垂直平分线，于是|AM|＝|PM|，又由于10＝|OP|＝|OM|＋|MP|＝|OM|＋|MA|，即|OM|＋|MA|＝10，也就是说，动点M到O(0，0)及A(8,0)的距离之和是10，故动点M的轨迹是以O(0,0)、A(8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．
答案：椭圆
3. 若过点P(1,1)且相互垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为________．
解析：设当l1、l2斜率都存在时，直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，则直线l2的方程是y－1＝－(x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A(1－，0)，l2与y轴的交点为B(0，1＋)，设AB的中点为M(x，y)，则有，两式相加消去k得x＋y＝1，
即x＋y－1＝0(x≠，y≠)，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0.
当l1、l2有一条斜率不存在时，则l1：x＝1，l2：y＝1，A(1,0)，B(0,1)，M(，)，满足x＋y－1＝0，综上得AB中点M的轨迹方程是x＋y－1＝0.
答案：x＋y－1＝0
4. 如图，动圆C1：x2＋y2＝t2(1<t<3)与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．
(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
解：(1)由于A，B，C，D四点的对称性，
设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，C(－x0，－y0)，D(－x0，y0)，
则矩形ABCD的面积为S＝AB×BC＝2|y0|×2|x0|＝4|x0y0|，
由点A(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，
所以＋y＝1⇒y＝1－.
从而xy＝x(1－)＝－(x－)2＋，
故x＝，y＝时，xy取得最大值.
从而S＝AB×BC＝2|y0|×2|x0|＝4|x0y0|取得最大值6.
此时t2＝x＋y＝5⇒t＝.
(2)由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)可得直线AA1的方程：y＝(x＋3)，①
直线A2B的方程：y＝(x－3)，②
设直线AA1与直线A2B的交点为M(x，y)，
由①②得y2＝(x2－9)，③
由(1)知y＝1－，④
④代入③整理得－y2＝1(x<－3，y<0)，
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．
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