高中数学(北师大版)选修1-1教案：第1章-知识详解：细说“命题及其关系”.docx

细说“命题及其关系“
有关命题及其关系，已经在近年很多省市的试卷中毁灭，往往和其他学问结合起来进行综合考查，多以选择题和填空题形式毁灭，偶而也有解答题。学习命题及其关系，应留意理解一个命题和其他三个命题之间的关系，留意正确区分否命题与命题的否定，理解互为逆否命题之间的等价性及其在证明中的应用。
一、学问点精讲
1．命题
一般地，，我们把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题。其中推断为真的命题叫做真命题，推断为假的命题叫做假命题。
说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能推断真假的语句才是命题。一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；
（2）一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：、、等。
2．命题的结构
在数学中，具有“若则”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式命题中的叫做命题的条件，叫做命题的结论。
数学中有一些命题虽然表面上不是“若则”的形式，但是把它的表述作适当转变，也可以写成“若则”的形式。
3．四种命题
交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。这些结论用于写一个命题的逆命题、否命题与逆否命题格外便利。
4．四种命题的形式
用和分别表示原命题的条件和结论，用、分别表示和的否定，四种形式就是：
原命题：若，则，即；
逆命题：若，则，即；
否命题：若则，即；
逆否命题：若则，即。
5．四种命题之间的关系

6．四种命题间真假命题的推断
一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种状况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
说明：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题互为逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
7．否命题与命题的否定
否命题与命题的否定是两个不同的概念，若表示命题，“非”叫做命题的否定。假如原命题是“若则”的形式，，那么这个命题的否定是“若则非”，即只否定结论。
原命题的否定命题是“若非，则非”，即既否定条件，又否定结论。
二、范例剖析
例1 将下列命题改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。
（1）正数的平方根不等于0；
（2）当时，；
分析：首先分清条件和结论，然后写成“若则”的形式。
解析：（1）原命题：若是正数，则的平方根不等于零；
逆命题：若的平方根不等于零，则是正数；
否命题：若不是正数，则的平方根等于零；
逆否命题：若的平方根等于零，则不是正数。
（2）原命题：若，则；
逆命题：若，则；
否命题：若，则；
逆否命题：若，则。
评注：依据四种命题的定义来写，留意否命题与命题的否定的区分。
例2 推断命题“已知、为实数，若关于的不等式的解集非空，则”的逆否命题的真假。
分析：可以先写出原命题的逆否命题，直接推断其真假；也可以利用原命题与其逆否命题的等价关系，去推断原命题的真假；又问题涉及到不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解。
解析：方法1：逆否命题：已知、为实数，假如，关于的不等式的解集为空集。推断如下：
抛物线开口向上，
判别式。
∵，∴，即抛物线与轴无交点，
∴关于的不等式的解集为空集。
故逆否命题为真。
方法2：先推断原命题的真假。
∵、为实数，且关于的不等式的解集非空，
∴，∴。
∵，∴原命题为真，
又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真。
方法3：利用集合的包含关系求解。
命题：关于的不等式有非空解集，
命题：。
∴：关于的不等式有实数集}
，
：。
∵，∴“若，则”为真，∴其逆否命题“若，则”为真，
∴原命题的逆否命题为真。
评注：该例是一道集合、不等式的解、二次函数的图象、四种命题的关系的综合题，通过一题多解，培育发散创新力气。