1、第2讲参数方程最新考纲1了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程3把握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简洁的相关问题.知 识 梳 理1曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中，假如曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数2一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)(2)圆的方程(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)(3)椭圆方程1(ab0)的参数方程为(为参数)(4)
2、抛物线方程y22px(p0)的参数方程为(t为参数)诊 断 自 测1极坐标方程cos 和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是_直线、直线；直线、圆；圆、圆；圆、直线解析cos x，cos 代入到cos ，得，2x，x2y2x表示圆又相加得xy1，表示直线答案2若直线(t为实数)与直线4xky1垂直，则常数k_.解析参数方程所表示的直线方程为3x2y7，由此直线与直线4xky1垂直可得1，解得k6.答案63(2022北京卷)直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_解析直线方程可化为xy10，曲线方程可化为x2y29，圆心(0,0)到直线xy10的距离d3.直线与圆相交有两个交点答案24已
3、知直线l：(t为参数)上到点A(1,2)的距离为4的点的坐标为_解析设点Q(x，y)为直线上的点，则|QA|4，解之得，t2，所以Q(3,6)或Q(5，2)答案(3,6)和(5，2)5(2021广东卷)已知曲线C的极坐标方程为2cos ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_解析由2cos 知，22cos 所以x2y22x，即(x1)2y21，故其参数方程为(为参数)答案(为参数)考点一参数方程与一般方程的互化【例1】 把下列参数方程化为一般方程，并说明它们各表示什么曲线；(1)(t为参数)；(2)(t为参数)；(3)(t为参数)解(1)由x1t得t2x2.y2
4、(2x2)xy20，此方程表示直线(2)由y2t得ty2，x1(y2)2.即(y2)2x1，此方程表示抛物线(3)22得x2y24，此方程表示双曲线规律方法 参数方程化为一般方程：化参数方程为一般方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围【训练1】 将下列参数方程化为一般方程(1)(为参数)；(2)(t为参数)解(1)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，得所求的一般方程为y22x，x0,2(2)由参数方程得etxy，etxy，(xy)(xy)1，即x2y21.考点二
5、直线与圆参数方程的应用【例2】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin .(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|PB|.解(1)由2sin ，得22sin .x2y22y，即x2(y)25.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得225，即t23t40.由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23.规律方法 (
6、1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t|PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2)(2)对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题【训练2】 已知直线l的参数方程为(参数tR)，圆 C的参数方程为(参数0,2)，求直线l被 圆C所截得的弦长解由消参数后得一般方程为2xy60，由消参数后得一般方程为(x2)2y24，明显圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到
7、直线2xy60的距离为d，所以所求弦长为2 .考点三极坐标、参数方程的综合应用【例3】 已知P为半圆C：(为参数，0)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程解(1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.(2)点M的直角坐标为，A(1,0)故直线AM的参数方程为(t为参数)规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为一般方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程【训练3】 (2021
8、福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(，)，直线l的极坐标方程为cos()a，且点A在直线l上(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(为参数)，试推断直线l与圆C的位置关系解(1)由点A(，)在直线cos()a上，可得a.所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r1，由于圆心C到直线l的距离d0)的一个交点在极轴上，则a_.解析(cos sin )1，即cos sin 1对应的一般方程为xy1
9、0，a(a0)对应的一般方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.答案二、解答题10(2021新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02)解(1)将消去参数t，化为一般方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.将代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.(2)C2的一般方程为x2y22y0.由解得或所
10、以C1与C2交点的极坐标分别为，.11(2021新课标全国卷)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并推断M的轨迹是否过坐标原点解(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹通过坐标原点12(2022新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos ，3sin )，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.由于0sin21，所以S的取值范围是32,52
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