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第2讲 参数方程
[最新考纲]
1．了解参数方程，了解参数的意义．
2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．
3．把握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简洁的相关问题.
知 识 梳 理
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系xOy中，假如曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数
并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数．
2．一些常见曲线的参数方程
(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．
(2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．
(3)椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．
(4)抛物线方程y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)．
诊 断 自 测
1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是________．
①直线、直线；②直线、圆；③圆、圆；④圆、直线．
解析 ∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝代入到ρ＝cos θ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．又∵相加得x＋y＝1，表示直线．
答案 ④
2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.
解析 参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x＋ky＝1垂直可得－×＝－1，解得k＝－6.
答案 －6
3．(2022·北京卷)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．
解析 直线方程可化为x＋y－1＝0，曲线方程可化为x2＋y2＝9，圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝＜3.∴直线与圆相交有两个交点．
答案 2
4．已知直线l：(t为参数)上到点A(1,2)的距离为4的点的坐标为________．
解析 设点Q(x，y)为直线上的点，
则|QA|＝
＝＝4，
解之得，t＝±2，所以Q(－3,6)或Q(5，－2)．
答案 (－3,6)和(5，－2)
5．(2021·广东卷)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
解析 由ρ＝2cos θ知，ρ2＝2ρcos θ
所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
故其参数方程为(θ为参数)．
答案 (θ为参数)
考点一 参数方程与一般方程的互化
【例1】 把下列参数方程化为一般方程，并说明它们各表示什么曲线；
(1)(t为参数)；
(2)(t为参数)；
(3)(t为参数)．
解 (1)由x＝1＋t得t＝2x－2.
∴y＝2＋(2x－2)．
∴x－y＋2－＝0，此方程表示直线．
(2)由y＝2＋t得t＝y－2，∴x＝1＋(y－2)2.
即(y－2)2＝x－1，此方程表示抛物线．
(3)
∴①2－②2得x2－y2＝4，此方程表示双曲线．
规律方法 参数方程化为一般方程：化参数方程为一般方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．
【训练1】 将下列参数方程化为一般方程．
(1)(θ为参数)；
(2)(t为参数)．
解 (1)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，
得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，
得所求的一般方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．
(2)由参数方程得et＝x＋y，e－t＝x－y，
∴(x＋y)(x－y)＝1，即x2－y2＝1.
考点二 直线与圆参数方程的应用
【例2】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.
解 (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.
∴x2＋y2＝2y，即x2＋(y－)2＝5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程．
得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，
所以
又直线l过点P(3，)，
故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
规律方法 (1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．
(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
【训练2】 已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆 C的参数方程为(参数θ∈[0,2π])，求直线l被
圆C所截得的弦长．
解 由消参数后得一般方程为2x＋y－6＝0，
由消参数后得一般方程为(x－2)2＋y2＝4，明显圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝＝，
所以所求弦长为2 ＝.
考点三 极坐标、参数方程的综合应用
【例3】 已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解 (1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.
(2)点M的直角坐标为，A(1,0)．
故直线AM的参数方程为(t为参数)．
规律方法 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为一般方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
【训练3】 (2021·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为(，)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试推断直线l与圆C的位置关系．
解 (1)由点A(，)在直线ρcos(θ－)＝a上，可得a＝.
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，
由于圆心C到直线l的距离d＝＝<1，
所以直线l与圆C相交.
转化思想在解题中的应用
【典例】 已知圆锥曲线(θ是参数)和定点A(0, )，F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点．
(1)求经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的参数方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程．
[审题视点] (1)先将圆锥曲线参数方程化为一般方程，求出F1的坐标，然后求出直线的倾斜角度数，再利用公式就能写出直线l的参数方程．(2)直线AF2是已知确定的直线，利用求极坐标方程的一般方法求解．
解 (1)圆锥曲线化为一般方程＋＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，则直线AF2的斜率k＝－，于是经过点F1且垂直于直线AF2的直线l的斜率k′＝，直线l的倾斜角是30°，
所以直线l的参数方程是(t为参数)，
即(t为参数)．
(2)直线AF2的斜率k＝－，倾斜角是120°，
设P(ρ，θ)是直线AF2上任一点，
则＝，ρsin(120°－θ)＝sin 60°，
则ρsin θ＋ρcos θ＝.
[反思感悟] (1)本题考查了极坐标方程和参数方程的求法及应用．重点考查了转化与化归力量．(2)当用极坐标或参数方程争辩问题不很娴熟时，可以转化成我们比较生疏的一般方程求解．(3)本题易错点是计算不精确 ，极坐标方程求解错误．
【自主体验】
已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．
解 将直线l的参数方程(t为参数)转化为一般方程为x＋2y＝0，由于P为椭圆＋y2＝1上任意一点，
故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R.
因此点P到直线l的距离
d＝＝.
所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，
d取得最大值.
一、填空题
1．(2022·芜湖模拟)直线(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于的点的坐标是________．
解析 由题意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝±，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．
答案 (－3,4)或(－1,2)
2．(2022·海淀模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
解析 曲线C化为一般方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝＝1⇒k＝±.
答案 ±
3．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
解析 当t＝时，x＝1，y＝2，则M(1,2)，∴直线OM的斜率k＝2.
答案 2
4．(2021·湖南卷)在平面直角坐标系xOy中，若l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析 ∵x＝t，且y＝t－a，
消去t，得直线l的方程y＝x－a，
又x＝3cos φ且y＝2sin φ，消去φ，
得椭圆方程＋＝1，右顶点为(3,0)，
依题意0＝3－a，
∴a＝3.
答案 3
5．直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为________．
解析 曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d＝＝，则弦长l＝2＝.
答案
6．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析 将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由l1∥l2，得＝≠⇒k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0⇒k＝－1.
答案 4 －1
7．(2022·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析 曲线C1的一般方程为y2＝x(y≥0)，
曲线C2的一般方程为x2＋y2＝2.
由
解得即交点坐标为(1,1)．
答案 (1,1)
8．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析 消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.
答案 1
9．(2022·湖南卷)在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝______.
解析 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的一般方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的一般方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将代入x2＋y2＝a2得a＝.
答案
二、解答题
10．(2021·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解 (1)将消去参数t，
化为一般方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的一般方程为x2＋y2－2y＝0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
11．(2021·新课标全国Ⅱ卷)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并推断M的轨迹是否过坐标原点．
解 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．
(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0<α<2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹通过坐标原点．
12．(2022·新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解 (1)由已知可得A，
B，
C，
D，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cos φ，3sin φ)，
令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，
则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
由于0≤sin2φ≤1，
所以S的取值范围是[32,52]．
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