2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：选修4-5-第2讲-不等式的证明.docx

第2讲不等式的证明最新考纲了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简洁不等式知 识 梳 理1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立定理2：假如a、b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：假如a、b、c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)假如a1、a2、an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)若ai，bi(iN*)为实数，则()()(ibi)2，当且仅当(当ai0时，商定bi0，i1,2，n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当，共线时等号成立3不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等诊 断 自 测1已知a、b、m均为正数，且ab，M，N，则M、N的大小关系是_解析MN0，即MN.答案MN2设a，b，c，则a，b，c的大小关系为_解析分子有理化得a，b，c，abc.答案abc3若0ab1，则ab,2，a2b2,2ab中最大的一个是_解析ab2，a2b22ab.又(a2b2)(ab)a(a1)b(b1)，0a1,0b1.a(a1)b(b1)0.a2b2ab.答案ab4已知x，yR，且xy1，则的最小值为_解析24.答案45若a，b，c(0，)，且abc1，则的最大值为_解析()2(111)2(121212)(abc)3.当且仅当abc时，等号成立()23.故的最大值为.答案考点一分析法证明不等式【例1】 设a，b，c0，且abbcca1.求证：(1)abc.(2) ()证明(1)要证abc ，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得原不等式成立(2).由于(1)中已证abc.因此要证原不等式成立，只需证明 .即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca.原不等式成立规律方法 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发觉条件和结论之间的关系时，可用分析法来查找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必需可逆【训练1】 已知a、b、c均为正实数，且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c)证明a、b、cR，且abc1，要证原不等式成立，即证(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是证(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab)(ca)(ab)2 0，(ab)(bc)2 0.(bc)(ca)2 0，三式相乘得式成立，故原不等式得证考点二用综合法证明不等式【例2】 已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.证明(1)ab1，a0，b0，22244 48.8.(2)1，由(1)知8.9.规律方法 利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式【训练2】 已知a，b，cR，且互不相等，且abc1，求证：.证明法一a，b，cR，且互不相等，且abc1，.法二22；22；22.以上三式相加，得 .又a，b，c互不相等，.法三a，b，c是不等正数，且abc1，bccaab.考点三利用柯西不等式求最值【例3】 (1)(2021湖北卷)设x，y，zR，且满足：x2y2z21，x2y3z，则xyz_.(2)已知x、y、zR，且xyz1，则：的最小值为_解析(1)由柯西不等式，得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，(x2y3z)214，则x2y3z，又x2y3z，x，因此x，y，z，于是xyz.(2)法一利用柯西不等式由于(xyz)236.所以36.当且仅当x2y2z2，即x，y，z时，等号成立法二(xyz)(xyz)(xyz)1414461236.当且仅当y2x，z3x，即x，y，z时，等号成立答案(1)(2)36规律方法 依据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相像的结构，从而应用柯西不等式【训练3】 (2021湖南卷)已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_解析法一(xyz)2x2y2z22xy2yz2zx3(x2y2z2)，a24b29c2(a2b3c)212.a24b29c2的最小值为12.法二由柯西不等式，得(a24b29c2)(121212)(a12b13c1)236，故a24b29c212，从而a24b29c2的最小值为12.答案12利用算术几何平均不等式求最值【典例】 已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立审题视点(1)a2b2c2，分别用算术几何平均不等式；(2)相加后又构成用算术几何平均不等式的条件解由于a，b，c均为正数，由算术几何平均不等式得a2b2c23(abc)3(abc)，所以29(abc).故a2b2c223(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立即当且仅当abc3时，原式等号成立反思感悟(1)利用算术几何平均不等式证明不等式或求最值问题，是不等式问题中的一个重要类型，重点要抓住算术几何平均不等式的结构特点和使用条件(2)在解答本题时有两点简洁造成失分：一是多次运用算术几何平均不等式后化简错误；二是求解等号成立的a，b，c的值时计算出错【自主体验】设a，b，c为正实数，求证：abc2.证明由于a，b，c是正实数，由算术几何平均不等式可得3，即.所以abcabc.而abc22，当且仅当abc且abc时，取等号所以abc2.一、填空题1(2021江苏卷改编)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M、N的大小关系为_解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)由于ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.答案MN2已知xy1，那么2x23y2的最小值是_解析由柯西不等式(2x23y2)2(xy)21，2x23y2，当且仅当2x3y，即x，y时，等号成立答案3若直线3x4y2，则x2y2的最小值为_，最小值点为_解析由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.当且仅当时等号成立，为求最小值点，需解方程组因此，当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为，最小值点为.答案4若a，b均为正实数，且ab，M，N，则M、N的大小关系为_解析ab，2，2，22，.即MN.答案M N5设a、b、c是正实数，且abc9，则的最小值为_解析(abc)()2()2()2218.2.的最小值为2.答案26已知a，b，c为正实数，且a2b3c9，则的最大值为_解析 ，故最大值为.答案7(2021陕西卷)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_解析由柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时“”成立，得(ambn)(bman)()2mn(ab)22.答案28已知x22y23z2，则3x2yz的最小值为_解析(x22y23z2)(3xyz)2(3x2yz)2，当且仅当x3y9z时，等号成立(3x2yz)212，即23x2yz2.当x，y，z时，3x2yz2，最小值为2.答案29已知a，b，cR，且abc1，则的最大值为_解析法一利用基本不等式()2(3a1)(3b1)(3c1)222(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18，3，()max3.法二利用柯西不等式(121212)()2()2()2(111)2()233(abc)3又abc1，()218，3.当且仅当时，等号成立()max3.答案3二、解答题10设a，b，c为正数，且abc1，求证：9.证明法一a，b，c均为正数，1abc3.又3，1339.即9.法二构造两组数：， ， ；，.因此依据柯西不等式有()2()2()22.即(abc)329.(当且仅当，即abc时取等号)又abc1，所以9.11设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故ab1ab.12(2022福建卷)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且m，求证：a2b3c9.(1)解f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明由(1)知1，且a，b，c大于0，a2b3c(a2b3c)332229.当且仅当a2b3c时，等号成立因此a2b3c9.