资源描述
第1讲 坐标系
[最新考纲]
1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化状况．
2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简洁图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.
知 识 梳 理
1．极坐标系
(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．
设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos θ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝.
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
3．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos_θ；
(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin_θ.
诊 断 自 测
1．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为________．
解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．
答案
2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，
∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ.
∴x2＋y2＝2y＋4x，
即x2＋y2－2y－4x＝0.
答案 x2＋y2－4x－2y＝0
3．(2022·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析 ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得解得即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为.
答案
4．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点到直线l的距离为________．
解析 ∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)，
∴点到直线l的距离为2.
答案 2
5．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
解析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝转化为平面直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0.
∴圆心(0,2)到直线x－3y＝0的距离为
＝.
答案
考点一 极坐标与直角坐标的互化
【例1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标；
(2)把点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标．
解 (1)∵x＝－5cos ＝－，y＝－5sin ＝－，
∴点M的直角坐标是.
(2)ρ＝＝＝2，
tan θ＝＝.
∵点M在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝.
因此，点M的极坐标是.
规律方法 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，肯定要留意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在曲线的方程进行互化时，肯定要留意变量的范围．要留意转化的等价性．
【训练1】 (1)把点M的极坐标化成直角坐标；
(2)把点P的直角坐标(，－)化成极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)
解 (1)x＝8cos ＝－4，y＝8sin ＝4，
因此，点M的直角坐标是(－4,4)．
(2)ρ＝＝2，tan θ＝＝－，
又由于点在第四象限，得θ＝.
因此，点P的极坐标为.
考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化
【例2】 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解 (1)∵ρcos＝1，
∴ρcos θ·cos ＋ρsin θ·sin ＝1.
又，∴x＋y＝1.
即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.
∴M(2,0)，N.
∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.
(2)M，N连线的中点P的直角坐标为，
P的极角为θ＝.
∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
规律方法 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要把握好互化公式，争辩极坐标系下图形的性质，可转化为我们生疏的直角坐标系的情境．
【训练2】 ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解 以极点的原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ；
ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ.
由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为
x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.
(2)由
①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程．
考点三 曲线极坐标方程的应用
【例3】 (2022·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长．
解 由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2＝2＝4.故所求弦长为4.
规律方法 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，假如不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．
【训练3】 (2022·江苏卷)在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解 在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
由于圆C经过点P，
所以圆C的半径
PC＝ ＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误
【典例】 (10分)在极坐标系下，若点P(ρ，θ)的一个极坐标为，求以为坐标的不同的点的极坐标．
[错解呈现]
甲：解 化为直角坐标为(－2,2)，故该点与原点的中点坐标为(－1，)，化为极坐标为.
乙：解 ∵ρ＝4，θ＝，故＝2，＝，
因此所求极坐标为.
[规范解答] ∵为点P(ρ，θ)的一个极坐标．
∴ρ＝4或ρ＝－4. (2分)
当ρ＝4时，θ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴＝2，＝kπ＋(k∈Z)． (4分)
当ρ＝－4时，θ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴＝－2，＝kπ＋(k∈Z)． (6分)
∴有四个不同的点：
P1，P2(k∈Z)，
P3，P4(k∈Z) (10分)
[反思感悟] 甲生解法中将直角坐标系的中点坐标公式应用于极坐标系中的中点，事实上(ρ，θ)与的关系并不是点(ρ，θ)与极点的中点为，从几何意义上讲点应满足该点的极角为θ的，极径为ρ的.乙生解法中满足的几何意义，但由于极坐标系内点的极坐标的不唯一性，还应就点(ρ，θ)的其他形式的极坐标进行争辩．
【自主体验】
下列各点中与极坐标不表示同一个点的极坐标是________．
① ② ③ ④
解析 由于与表示同一点的坐标有或，其中k∈Z，所以易得只有②不同．
答案 ②
一、填空题
1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________(填序号)．
①；②；③(1,0)；④(1，π)
解析 圆的方程可化为ρ2＝－2ρsin θ，由
得x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1)，
化为极坐标为.
答案 ②
2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是______(填序号)．
①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线．
解析 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．
答案 ③
3．在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________．
解析 点化为直角坐标为(1，)，方程ρ＝2cos θ化为一般方程为x2＋y2－2x＝0，故圆心为(1,0)，则点(1，)到圆心(1,0)的距离为.
答案
4．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．
解析 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组得则交点为(0,1)，对应的极坐标为.
答案
5．(2022·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．
解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.
答案 2
6．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－2sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．
解析 由ρ＝6cos θ－2sin θ⇒ρ2＝6ρcos θ－2ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋2y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圆心的坐标为(3，－)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3.
答案 ρcos θ＝3
7．(2022·华南师大模拟)在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．
解析 依题意知，点M的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.
答案 2
8．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cos θ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.
解析 曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝.
答案
9．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．
解析 θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y＝0，y＝x，x＋y＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB，S＝.
答案
二、解答题
10．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解 圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为
ρ＝2cos θ，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，
∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示圆心在点，半径为的圆．
11．(2022·辽宁卷)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解 (1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
解得ρ＝2，θ＝±，
故圆C1与圆C2交点的坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)法一 由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
－≤t≤.
法二 将x＝1代入
得ρcos θ＝1，从而ρ＝.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
－≤θ≤.
12．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足＝2 ，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.
解 (1)设P(x，y)，则由条件知M.
由于M点在C1上，所以
即
从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin ，
射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin .
所以AB＝|ρ2－ρ1|＝2.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
