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2021-2022学年度高三适应测试（三）
数 学（理）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、在复平面内，复数的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
2、设是两条直线，是两个平面，则的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3、甲、乙两个一次射击竞赛各射靶5次，两人成果的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲的成果的方差小于乙的成果的方差
B．甲的成果的平均数小于乙的成果的平均数
C．甲的成果的中位数小于乙的成果的中位数
D．甲的成果的极差小于乙的成果的极差
4、若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5、在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好落在
正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）
A． B． C． D．
6、正中，是边上的点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7、已知函数，记，，则等于（ ）
A． B．2 C．1 D．10
8、已知实数满足约束条件，若向量，向量，设表示向量在向量方向上的投影，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9、函数图象上关于坐标原点对称的点有对，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．无穷多
10、若实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
11、执行如图所示的程序框图，如输入，则输出的值为
12、2022年亚冠联赛中国共有四支足球队参赛，分别为广州恒大、贵州人和、山东鲁能和背景国安，为了打出中国足球的精神面貌，足协项派五名官员给这四支球队做动员工作，每支球队至少派一名官员，且甲、乙官员不能到同一支球队，则不同的支配方法的种数
13、已知圆的圆心为抛物线的交点，直线与圆相切，则该圆的方程为
14、已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则以为球心，为半径的球的表面积为
15、在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为
现有下列四个命题：
①已知两点，则为定值；
②原点到直线上任一点P的直角距离的最小值为；与
③若表示两点间的距离，那么；
④设点且，若点在过点与的直线上，且点到点与的“直角距离”之和等于10，那么满足条件的点A只有5个。
其中的真命题是 （写出全部真命题的序号）。
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
已知函数，在轴右侧的第一个最高点的横坐标，若将函数的图象向右平移个单位后，再将得到图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象。
（1）求函数的最大值及单调递减区间；
（2）在中，分别是角的对边，且，
求的面积。
17、（本小题满分12分）
已知数列是首项为公比为的等比数列，设。
（1）求数列的前n项和；
（2）设，数列的前n项和为，若，是否存在正整数，使得
对任意正整数恒成立？若存在，求出正整数的值或范围；若不存在，请说明理由。
18、（本小题满分12分）
某校格外重视校本课程的开发，开设了共5门校本课程，要求每个同学必需且只能选修1门校本课程，现有该校甲、乙、丙、丁4名同学。
（1）求恰有2门校本课程没有被这4名同学选择的概率；
（2）设这4名同学选择A校本课程的人数为，求的概率分布及数学期望。
19、（本小题满分12分）
如图所示，三棱柱中，，平面平面，与相交于点
（1）求证：平面
（2）设点是直线上一点，且平面，
求二面角的余弦值。
20、（本小题满分13分）
已知向量，且。
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设曲线与直线相交于不同的两点，又点，
当时，求实数的取值范围。
21、（本小题满分14分）
已知函数，且
（1）当，求函数的极值；
（2）设
①当时，对任意，都有成立，求的最大值；
②设为的导函数，若存在，使得成立，求的取值范围。
高三适应性测试(三)
数学（理）答案
一．选择题（每题5分，共10题）
BCADB BDCAD
二．填空题（每题5分，共5题）
11. 12. 216 13. 14. 15. ①③
三．解答题（本大题共6小题，共75分）
16.解：(1).
令，将代入可得.
所以，所以. ……3分
当时，函数取得最大值. …………4分
令,
即为函数的单调递减区间. ……6分
（2），，，
而，，， …………8分
由余弦定理知，
所以，即，
又，所以， …………10分
. …………12分
17．解：（1），， ……2分
当时， ； …………3分
当时，是公比为，首项为的等比数列，
， …………5分
综上. …………6分
（2）由题意，
所以， …………8分
所以，.
则
， …………10分
即，所以正整数的值为. …………12分
18解：（1）恰有2门校本课程这4名同学都没选择的概率：==. ……4分
（2）设校本课程被这4名同学选择的人数为，则=0，1，2，3，4 .
==， == ， ==，
==， ==.
分布列如下图：
0
1
2
3
4
………10分
∴=0×+1×+2×+3×+4×=. …………12分
19．解：（1）由已知得侧面是菱形，是的中点，
由于，所以， …………2分
平面平面，且，
平面平面=，平面. …………4分
（2）设点是的中点，由于点是的中点，所以平面，
又由于平面，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，所以点是的中点. …………6分
如图，以为原点，以所在直线分别为轴, 轴，z轴建立空间直角坐标系. 由已知可得
所以
设平面的一个法向量是，
由得，.
,
由得，
所以，
令得，所以. ………8分
平面平面 ，，
所以平面
∴是平面的一个法向量是， ………10分
即二面角的余弦值是. …………12分
20．解：(1)由题意得，，
∵，∴，
化简得，∴点的轨迹的方程为. ………4分
(2)由得，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴，即. ①……6分
(i)当时，设弦的中点为，分别为点的横坐标，则，
从而，， …………8分
又，∴.
则，即， ②
将②代入①得，解得，由②得，解得，
故所求的的取值范围是. …………10分
(ii)当时，，∴，，
解得. …………12分
综上，当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是.
……13分
21. 解：（1）当，时，，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
所以． …………2分
令，得，列表
－
－
↗
极大值
↘
↘
微小值
↗
由表知的极大值是，的微小值是. ……4分
（2）① 由于，
当时，．
由于在上恒成立，
所以在上恒成立． ……………6分
记，则．
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数．
所以．
所以的最大值为． ……………8分
②由于，所以．
由，得，
整理得．
存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立等价于存在x＞1，使2ax3－3ax2－2bx＋b＝0 成立． ………………10分
由于，所以．
设，则．
由于时，恒成立，所以在是增函数，
所以，
所以，即的取值范围为． ……………14分
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