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第十章 10.10 第十课时
一、选择题
1．关于正态曲线性质的叙述：
(1)曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴上方；
(2)曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方；
(3)曲线关于y轴对称，由于曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；
(4)曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延长时，曲线渐渐降低；
(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的外形由σ确定；
(6)σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．
上述说法正确的是( )
A．只有(1)(4)(5)(6) B．只有(2)(4)(5)
C．只有(3)(4)(5)(6) D．只有(1)(5)(6)
答案 A
2．下列函数是正态密度函数的是( )
A．f(x)＝e，μ、σ(σ＞0)都是实数
B．f(x)＝e－
C．f(x)＝e－
D．f(x)＝－e
答案 B
解析 A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D中的函数图象在x轴下方，所以选B.
3．已知随机变量ξ听从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝( )
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
答案 A
解析 利用正态分布图象的对称性，P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.
4．已知随机变量X听从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝( )
A．0.1588 B．0.1587
C．0.1586 D．0.1585
答案 B
解析 P(X>4)＝[1－P(2≤X≤4)]＝×(1－0.6826)＝0.1587.
5．抽样调查表明，某校高三同学成果(总分750分)ξ近似听从正态分布，平均成果为500分，已知P(400＜ξ＜450)＝0.3，则P(550＜ξ＜600)等于( )
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.4
答案 A
6．设随机变量ξ～M(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝P，则P的值为( )
A．0 B．1
C. D．不确定与σ无关
答案 C
解析 ∵P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝P，∴C＝μ，且P＝.
二、填空题
7．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x＜a)＝0.32，则P(a≤x＜4－a)＝________.
答案 0.36
解析 由正态分布图象的对称性可得：P(a≤x＜4－a)＝1－2P(x＜a)＝0.36.
8.
随机变量ξ听从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________.
答案 0.7
解析 由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P(ξ<2)＝0.7.
9．若随机变量ξ～N(0,1)，且ξ在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率分别为P1，P2，则P1，P2的大小关系为________．
答案 P1＝P2
解析
如图所示，由正态分布图象的对称性可得，两阴影部分面积相等，即在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率P1＝P2.
10．某省试验中学高三共有同学600人，一次数学考试的成果(试卷满分150分)听从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示同学考试成果在80分到100分之间的人数约占总人数的，则此次考试成果不低于120分的同学约有________人．
答案 100
解析 ∵数学考试成果ξ－N(100，σ2)，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x＝100对称．明显P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)，又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝，∴P(ξ≥120)＝×＝，∴成果不低于120分的同学约为600×＝100(人)．
11．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则η＝听从参数为________的正态分布．
答案 (，)
解析 ∵ξ～N(μ，σ2)，∴Eξ＝μ，Dξ＝σ2.
而η＝也听从正态分布，
即Eη＝E()＝Eξ－＝
Dη＝D()＝Dξ＝
∴＝听从(，)的正态分布．
三、解答题
12．设X～N(1,22)，试求
(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)；(3)P(X≥5)．
解析 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)
＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.
(2)∵P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)，
∴P(3＜X≤5)＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]
＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]
＝×(0.9544－0.6826)＝0.1359.
(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，
∴P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)]
＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]
＝[1－0.954]＝0.023.
13．如下图所示，是一个正态曲线，试依据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．
解析 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20.
由＝，解得σ＝.
于是正态分布密度曲线的解析式是
φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
均值和方差分别是20和2.
14．灯泡厂生产的白炽灯寿命X(单位：h)，已知X～N(1000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000 h的概率为99.7%，问灯泡的平均寿命应把握在多少小时以上？
解析 由于灯泡寿命X～N(1000,302)故X在(1000－3×30,1000＋3×30)的概率为99.7%，即在(910,1090)内取值的概率为99.7%，故灯泡最低使用寿命应把握在910 h以上．
15．某市有210名同学参与一次数学竞赛，随机调阅了60名同学的答卷，成果列表如下：
成果(分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数
0
0
0
6
15
21
12
3
3
0
(1)求样本的数学平均成果及标准差；
(2)若总体听从正态分布，求此正态曲线近似的密度函数．
解析 (1)平均成果＝(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，
S2＝[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，S＝1.22.
即样本平均成果为6分，标准差为1.22.
(2)以＝6，S＝1.22作为总体同学的数学平均成果和标准差估量值，即μ＝6，σ＝1.22.正态曲线密度函数近似地满足y＝e－.
拓展练习·自助餐
1．若随机变量ξ的密度函数为f(x)＝e－，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为P1，P2，则P1，P2的关系为( )
A．P1>P2 B．P1<P2
C．P1＝P2 D．不确定
答案 C
解析 由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，依据正态曲线的对称性，可知P1＝P2.
2．正态总体N(0，)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为( )
A．0.46 B．0.9974
C．0.03 D．0.0026
答案 D
解析 P(－2<ξ≤2)＝P(0－3×<ξ≤0＋3×)＝P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，
∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为：1－0.9974＝0.0026.
3．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( )
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3 ，σ1<σ2＝σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
答案 D
解析 正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.
4．设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，求c的值．
解析
由ξ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.
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