2021高考数学(福建-理)一轮学案60-随机事件的概率.docx

学案60　随机大事的概率

导学目标： 1.了解随机大事发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区分.2.了解两个互斥大事的概率加法公式．

自主梳理
1．大事的分类
(1)一般地，我们把在条件S下，____________的大事，叫做相对于条件S的必定大事，简称____________．
(2)在条件S下，____________的大事，叫做相对于条件S的不行能大事，简称____________．
(3)在条件S下可能发生也可能不发生的大事，叫做________________________________，简称随机大事．大事一般用大写字母A，B，C…表示．
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观看某一大事A是否毁灭，称____________________为大事A毁灭的频数，称大事A毁灭的比例________________为大事A毁灭的频率．
(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机大事A发生的频率会在某个________四周摇摆，即随机大事A发生的频率具有________，这个常数叫大事A的概率．
3．大事的关系与运算

定义
符号表示
包含关系
假如大事A________，则大事B________，这时称大事B包含大事A(或称大事A包含于大事B)
______
(或______)
相等关系
若B⊇A且______，那么称大事A与大事B相等
______
并大事(和大事)
若某大事发生________________________，则称此大事为大事A与大事B的并大事(或和大事)
______
(或______)
交大事(积大事)
若某大事发生________________________，则称此大事为大事A与大事B的交大事(或积大事)
________
(或______)
互斥大事
若A∩B为________大事，那么称大事A与大事B互斥
A∩B＝____
对立大事
若A∩B为________大事，A∪B为________大事，那么称大事A与大事B互为对立大事
B＝______
(或A＝____)
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：________.
(2)必定大事的概率：P(E)＝____.
(3)不行能大事的概率：P(F)＝____.
(4)概率的加法公式
假如大事A与大事B互斥，则P(A∪B)＝________.
(5)对立大事的概率
若大事A与大事B互为对立大事，则A∪B为必定大事．
P(A∪B)＝____，P(A)＝________.
自我检测
1．(2011·台州月考)下列说法正确的是(　　)
A．某大事发生的频率为P(A)＝1.1
B．不行能大事的概率为0，必定大事的概率为1
C．小概率大事就是不行能发生的大事，或许率大事就是必定发生的大事
D．某大事发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
2．(2011·中山期末)假如把必定大事和不行能大事看做随机大事的极端情形，随机大事A的概率取值范围是(　　)
A．P(A)>0 B．P(A)≥0
C．0<P(A)<1 D．0≤P(A)≤1
3．(2011·中山期末)从12个同类产品(其中有10个正品，2个次品)中，任意抽取3个的必定大事是(　　)
A．3个都是正品 B．至少有1个是次品
C．3个都是次品 D．至少有1个是正品
4．袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，
①恰有1个白球和全是白球；
②至少有1个白球和全是黑球；
③至少有1个白球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述大事中，是对立大事的为(　　)
A．① B．② C．③ D．④
5．(2011·广州调研)关于互斥大事的理解，错误的是(　　)
A．若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生
B．若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一
C．A发生，B不发生；B发生，A不发生；A、B都不发生
D．若A、B又是对立大事，则A、B中有且只有一个发生

探究点一　随机大事的概念
例1　一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一只球．
(1)“取出的球是红球”是什么大事，它的概率是多少？
(2)“取出的球是黑球”是什么大事，它的概率是多少？
(3)“取出的球是白球或是黑球”是什么大事，它的概率是多少？

变式迁移1　某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记大事A为“只订甲报纸”，大事B为“至少订一种报纸”，大事C为“至多订一种报纸”，大事D为“不订甲报纸”，大事E为“一种报纸也不订”．推断下列每对大事是不是互斥大事；假如是，再推断它们是不是对立大事．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.

探究点二　随机大事的频率与概率
例2　某中学部分同学参与全国高中数学竞赛取得了优异成果，指导老师统计了全部参赛同学的成果(成果都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频数分布直方图”如图，请回答：

(1)该中学参与本次高中数学竞赛的同学有多少人？
(2)假如90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是多少？(结果保留分数)

变式迁移2　某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：
投篮次数n
8
10
15
20
30
40
50
进球次数m
6
8
12
17
25
32
38
进球频率

(1)填写上表．
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？

探究点三　互斥大事与对立大事的概率
例3　(2011·新乡模拟)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．

变式迁移3　一个箱子内有9张票，其号数分别为1,2，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？

1．随机大事在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率总是接近于常数P(A)，称P(A)为大事A的概率．
2．正确区分互斥大事与对立大事的关系：对立大事是互斥大事，是互斥中的特殊状况，但互斥大事不愿定是对立大事，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
3．求某些较简洁的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的大事的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此大事A的对立大事的概率，然后利用P(A)＝1－P()可得解．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观看正品件数和次品件数，下列大事是互斥大事的是(　　)
①恰好有1件次品和恰好有两件次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少1件次品和全是正品．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
2．(2011·广州模拟)下列说法：
①频率反映大事发生的频繁程度，概率反映大事发生的可能性大小；
②做n次随机试验，大事A发生m次，则大事A发生的频率就是大事A发生的概率；
③百分率是频率，但不是概率；
④频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依靠于试验次数的理论值；
⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．①④⑤
C．①②③④⑤ D．②③
3．甲：A1、A2是互斥大事；乙：A1、A2是对立大事，那么(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
4．(2011·平顶山月考)某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则大事“至少有1次中靶”的互斥大事是(　　)
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
5．(2009·安徽)考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于(　　)
A．1 B. C. D．0
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492　496　494　495　498　497　501　502　504　496
497　503　506　508　507　492　496　500　501　499
依据频率分布估量总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5 g～501.5 g之间的概率约为________．
7．(2011·福建)盒中装有外形、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．
8．(2011·上海)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份诞生的概率为________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．
三、解答题(共38分)

9．(12分)(2011·南京模拟)某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参与了一支球队，具体状况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．

10．(12分)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？

11．(14分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．

学案60　随机大事的概率
自主梳理
1．(1)确定会发生　必定大事　(2)确定不会发生　不行能大事　(3)相对于条件S的随机大事　2.(1)n次试验中大事A毁灭的次数nA　fn(A)＝　(2)常数　稳定性
3．发生　确定发生　B⊇A　A⊆B　A⊇B　A＝B　当且仅当大事A发生或大事B发生　A∪B　A＋B　当且仅当大事A发生且大事B发生　A∩B　AB　不行能　∅　不行能　必定　　　4.(1)0≤P(A)≤1　(2)1　(3)0　(4)P(A)＋P(B)　(5)1　1－P(B)
自我检测
1．B　2.D　3.D　4.B　5.B
课堂活动区
例1　解题导引　解决这类问题的方法主要是弄清每次试验的意义及每个基本大事的含义，正确把握各个大事的相互关系，推断一个大事是必定大事、不行能大事、随机大事，主要是依据在确定条件下，所要求的结果是否确定毁灭、不行能毁灭(可能毁灭、可能不毁灭)，它们的概率(范围)分别为1,0，(0,1)．
解　(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不行能大事，其概率是0.
(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机大事，它的概率是.
(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或是黑球”是必定大事，它的概率是1.
变式迁移1　解　(1)由于大事C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即大事A与大事C有可能同时发生，故A与C不是互斥大事．
(2)大事B“至少订一种报纸”与大事E“一种报纸也不订”是不行能同时发生的，故B与E是互斥大事．由于大事B发生可导致大事E确定不发生，且大事E发生也会导致大事B确定不发生，故B与E还是对立大事．
(3)大事B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即大事B发生，大事D也可能发生，故B与D不是互斥大事．
(4)大事B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，大事C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个大事可能同时发生，故B与C不是互斥大事．
(5)由(4)的分析，大事E“一种报纸也不订”是大事C的一种可能，故大事C与大事E有可能同时发生，故C与E不是互斥大事．
例2　解题导引　本题利用直方图求出获奖的频率，作为概率的近似值．通过大量的重复试验，用这个大事发生的频率近似地作为它的概率是求一个大事的概率的基本方法．留意频率是随机的、变化的，而概率是一个常数，频率在其四周摇摆．
解　(1)由频数分布直方图可知，参与本次数学竞赛的同学有4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)．
(2)90分以上的人数为7＋5＋2＝14(人)，
∴获奖的频率为＝，
即本次竞赛获奖的概率大约是.
变式迁移2　解　(1)频率是在试验中大事发生的次数与试验总次数的比值，由此得，进球频率依次是，，，，，，，即0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.
(2)由于频率是概率的近似值，所以这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8.
例3　解题导引　用互斥大事和对立大事的概率公式解题，关键是分清所求大事是由哪些大事组成的，然后结合互斥大事与对立大事的定义分析出是否是互斥大事与对立大事，再打算用哪一个公式．利用互斥大事求概率体现了分类争辩的思想，利用对立大事求概率体现了“正难则反”的策略．
解　方法一　(利用互斥大事求概率)记大事A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，
依据题意知，大事A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥大事的概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)
＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
方法二　(利用对立大事求概率)
(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立大事为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立大事为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)
＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝.
(2)由于A1∪A2∪A3的对立大事为A4，
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
变式迁移3　解　方法一　从9张任取2张共有36种，记为(1,2)，(1,3)，…，(8,9)，记大事A为任取2张，号数至少有一个为奇数，则A＝{(1,2)，…，(1,9)，(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,9)，(3,4)，…，(3,9)，…，(8,9)}．
共有8＋4＋6＋3＋4＋2＋2＋1＝30.
∴P(A)＝＝.
方法二　大事A的对立大事为任取2张，号数都为偶数，
∴＝{(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)}共6种．
∴P(A)＝1－P()＝1－＝.
课后练习区
1．D
2．B　[由概率的相关定义知①④⑤正确．]
3．B　[由互斥大事、对立大事的定义可知互斥不愿定对立，对立确定互斥，即甲是乙的必要条件但不是充分条件．]
4．C　[由互斥大事定义可知，假如两大事互斥，两个大事不能同时发生．“至少有一次中靶”包括“恰有一次中靶”或“两次都中靶”．故A、B、D都能同时发生．]
5．A　[由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥，且四棱锥的各个侧面是全等的三角形，底面四个顶点构成一个正方形，从这6个点中任选3个点构成的三角形可分为以下两类：第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中的任意一个面的中心，构成的是等腰直角三角形，此时剩下的三个点也连成一个与其全等的三角形．其次类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选3个点所在的平面彼此相邻)此时构成的是正三角形，同时剩下的三个点也构成与其全等的三角形，故所求概率为1.]
6．0.25
7.
解析　从5个球中任取2个球有C＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有CC＝6(种)，故所求概率为＝.
8．0.985
解析　9位同学诞生月份的全部可能种数为129,9人诞生月份不同的全部可能种数为A，故P＝1－≈1－0.015 47≈0.985.
9．解　(1)设“该队员只属于一支球队”为大事A，则大事A的概率P(A)＝＝.(6分)
(2)设“该队员最多属于两支球队”为大事B，则大事B的概率为P(B)＝1－＝.(12分)
10．解　设大事A、B、C、D分别表示“任取一球，得到红球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到黄球”，“任取一球，得到绿球”，则由已知得P(A)＝，(3分)
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝1－＝.(10分)
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为
，，.(12分)
11．解　(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本大事空间
Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}共18个基本大事组成．(4分)
由于每一个基本大事被抽取的机会均等，因此这些基本大事的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一大事，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，
大事M由6个基本大事组成，
因而P(M)＝＝.(8分)
(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一大事，则其对立大事表示“B1、C1全被选中”这一大事，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，大事由3个基本大事组成，(10分)
所以P()＝＝，由对立大事的概率公式得：
P(N)＝1－P()＝1－＝.(14分)