【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第9章-第6节-空间向量及其运算(理).docx

第九章第六节一、选择题1已知向量a(8，x，x)，b(x,1,2)，其中x0.若ab，则x的值为()A8 B4 C2 D0答案B解析ab，x28，x0，x4.2(2022广东)已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1,1,0)B(1，1,0)C(0，1,1)D(1,0,1)答案B解析设所选向量为b，观看选项可知|b|，a，b60，cosa，b，ab1，代入选项检验(1，1,0)适合，故选B.3已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x、y、z分别为()A.，4B，4C.，2,4D4，15答案B解析，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得4在空间四边形ABCD中，的值为()A0BC1D无法确定答案A解析()()()0，故选A.5.(2022丽水调研)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos，若以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()A(1,1,1)B(1,1，)C(1,1，)D(1,1,2)答案A解析由题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，设P(0,0,2m)(m0)，则E(1,1，m)，(1,1，m)，(0,0,2m)，|，|，2m2，cos，解之得m1，故选A.6.(2022晋中调研)如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则与夹角的余弦值为()A0BC.D答案A解析设OAa，OBOCb，则()|cos|cosabab0，cos，0.二、填空题7若a(3x，5,4)与b(x,2x，2)之间夹角为钝角，则x的取值范围为_答案解析a与b的夹角为钝角，ab0，3x210x80，x4，又当a与b方向相反时，ab0，存在0，使ab，(3x，5,4)(x,2x，2)，此方程组无解，这样的不存在，综上知x4.8(2022哈尔滨质检)已知空间中三点A(1,0,0)，B(2,1，1)，C(0，1,2)，则点C到直线AB的距离为_答案解析(1,1，1)，(1，1,2)，cos，sin，点C到直线AB的距离d|sin，.9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M、N分别在直线AA1和BD1上运动当M、N在何位置时，|MN|最小，且|MN|的最小值是_答案解析建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，设M(1,0，t)，则0t1,01，设N(x0，y0，z0)，则(x01，y01，z0)(1，1,1)，N(1，1，)，(，1，t)，|22(1)2(t)22221(t)22()2(t)2，当且仅当t时，|2取到最小值，|的最小值为.三、解答题10已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以、为边的平行四边形的面积；(2)若|a|且a分别与、垂直，求向量a的坐标解析(2，1,3)，(1，3,2)(1)由于cos，.所以sin，.所以S|sin，7.即以、为边的平行四边形面积为7.(2)设a(x，y，z)，由|a|，a，a，可得或所以a(1,1,1)或(1，1，1).一、选择题11(2022上海奉贤二模)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，下列向量的数量积确定不为0的是()A.BC.D答案D解析当侧面BCC1B1是正方形时可得0，所以排解A.当底面ABCD是正方形时，AC垂直于对角面BD1，所以排解B，明显也排解C.由题图可得BD1与BC所成的角小于90.故选D.12三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，已知CACBCC1，ACBC，E、F分别是A1C1、B1C1的中点则AE与CF所成角的余弦值等于()A.BC.D答案A解析以C为原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC1，则A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C(0,0,0)，C1(0,0,1)，A1(1,0,1)，E、F分别为A1C1、B1C1的中点，E(，0,1)，F(0，1)，(，0,1)，(0，1)，cos，故选A.13正四周体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF的长为()A1BC.D2答案C解析()，由条件知|2，2，|2(|2|2|2222)2，|.二、填空题14(2022衡水模拟)已知a，b，c是空间的一个单位正交基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，若向量p在基底ab，ab，c下的坐标为(，3)，则p在基底a，b，c下的坐标为_答案(1,2,3)解析设向量p在基底a，b，c下的坐标为(x，y，z)，则由空间向量基本定理知，pxaybzc(ab)(ab)3ca2b3c，所以x1，y2，z3.即p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)15如图，空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则等于_答案abc解析()(bc)aabc.点评空间向量的线性表示及运算与平面对量类似，要结合图形机敏运用三角形法则和平行四边形法则三、解答题16.(2022海口模拟)如图，在45的二面角l的棱上有两点A、B，点C、D分别在、内，且ACAB，ABD45，ACBDAB1，求CD的长度解析由，cos，cos45cos45，|22222()32(011cos13511cos60)2，|.17(2022福建泉州三模)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点(1)求证：DE平面ABC；(2)求证：B1F平面AEF；(3)求二面角B1AEF的余弦值解析如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)，(1)证明：(2,4,0)，平面ABC的法向量为(0,0,4)，0，DE平面ABC，DE平面ABC.(2)证明：(2,2，4)，(2，2，2)，(2)22(2)(4)(2)0，B1FEF，(2)222(4)00，B1FAF.AFEFF，B1F平面AEF.(3)平面AEF的法向量为(2,2，4)，设平面B1AE的法向量为n(x，y，z)，即令x2，则z2，y1，n(2,1，2)，cosn，二面角B1AEF的余弦值为.