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第九章 第六节
一、选择题
1．已知向量a＝(8，x，x)，b＝(x,1,2)，其中x>0.若a∥b，则x的值为( )
A．8 B．4
C．2 D．0
[答案] B
[解析] ∵a∥b，∴＝＝，
∴x2＝8，∵x>0，∴x＝4.
2．(2022·广东)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1,1,0) B．(1，－1,0)
C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)
[答案] B
[解析] 设所选向量为b，观看选项可知|b|＝，
∵〈a，b〉＝60°，
∴cos〈a，b〉＝＝，∴a·b＝1，代入选项检验(1，－1,0)适合，故选B.
3．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为( )
A.，－，4 B．，－，4
C.，－2,4 D．4，，－15
[答案] B
[解析] ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，
∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3,1,4)，
则解得
4．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·的值为( )
A．0 B．
C．1 D．无法确定
[答案] A
[解析] ·＋·＋·
＝·(－)＋(－)·＋(－)·
＝·－·＋·－·＋·－·＝0，故选A.
5.(2022·丽水调研)如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为( )
A．(1,1,1) B．(1,1，)
C．(1,1，) D．(1,1,2)
[答案] A
[解析] 由题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，设P(0,0,2m)(m>0)，则E(1,1，m)，∴＝(－1,1，m)，＝(0,0,2m)，∴||＝，||＝，·＝2m2，
∵cos〈，〉＝，∴＝，
解之得m＝1，故选A.
6.(2022·晋中调研)如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则与夹角的余弦值为( )
A．0 B．
C. D．
[答案] A
[解析] 设OA＝a，OB＝OC＝b，则·＝·(－)＝·－·＝||·||·cos－||·||·cos＝ab－ab＝0，
∴cos〈，〉＝＝0.
二、填空题
7．若a＝(3x，－5,4)与b＝(x,2x，－2)之间夹角为钝角，则x的取值范围为________．
[答案]
[解析] ∵a与b的夹角为钝角，
∴a·b<0，
∴3x2－10x－8<0，∴－<x<4，
又当a与b方向相反时，a·b<0，
∴存在λ<0，使a＝λb，
∴(3x，－5,4)＝(λx,2λx，－2λ)，
∴此方程组无解，
∴这样的λ不存在，综上知－<x<4.
8．(2022·哈尔滨质检)已知空间中三点A(1,0,0)，B(2,1，－1)，C(0，－1,2)，则点C到直线AB的距离为________．
[答案]
[解析] ＝(1,1，－1)，＝(－1，－1,2)，
cos〈，〉＝＝＝－，
∴sin〈，〉＝，
∴点C到直线AB的距离d＝||·sin〈，〉＝.
9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M、N分别在直线AA1和BD1上运动．当M、N在何位置时，|MN|最小，且|MN|的最小值是________．
[答案]
[解析] 建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
设M(1,0，t)，＝λ，则0≤t≤1,0≤λ≤1，
设N(x0，y0，z0)，则(x0－1，y0－1，z0)＝λ(－1，－1,1)，
∴∴N(1－λ，1－λ，λ)，
∴＝(－λ，1－λ，λ－t)，||2＝λ2＋(1－λ)2＋(λ－t)2＝2λ2－2λ＋1＋(λ－t)2＝2(λ－)2＋(λ－t)2＋，
当且仅当λ＝＝t时，||2取到最小值，
∴||的最小值为.
三、解答题
10．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以、为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝且a分别与、垂直，求向量a的坐标．
[解析] ＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)．
(1)由于cos〈，〉＝
＝＝.
所以sin〈，〉＝.
所以S＝||·||sin〈，〉＝7.
即以、为边的平行四边形面积为7.
(2)设a＝(x，y，z)，由|a|＝，a⊥，a⊥，
可得
⇒或
所以a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).
一、选择题
11．(2022·上海奉贤二模)已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积确定不为0的是( )
A.· B．·
C.· D．·
[答案] D
[解析] 当侧面BCC1B1是正方形时可得·＝0，所以排解A.当底面ABCD是正方形时，AC垂直于对角面BD1，所以排解B，明显也排解C.由题图可得BD1与BC所成的角小于90°.故选D.
12．三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，已知CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，E、F分别是A1C1、B1C1的中点．则AE与CF所成角的余弦值等于( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 以C为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC＝1，则A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C(0,0,0)，C1(0,0,1)，A1(1,0,1)，∵E、F分别为A1C1、B1C1的中点，∴E(，0,1)，F(0，，1)，∴＝(－，0,1)，＝(0，，1)，
∴cos〈，〉＝＝＝，故选A.
13．正四周体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF的长为( )
A．1 B． C. D．2
[答案] C
[解析] ＝＋＝－(＋)＋，
由条件知||＝||＝||＝2，·＝·＝·＝2，
∴||2＝(||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·)＝2，∴||＝.
二、填空题
14．(2022·衡水模拟)已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(，－，3)，则p在基底{a，b，c}下的坐标为________．
[答案] (1,2,3)
[解析] 设向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(x，y，z)，则由空间向量基本定理知，
p＝xa＋yb＋zc＝(a＋b)－(a－b)＋3c
＝a＋2b＋3c，
所以x＝1，y＝2，z＝3.
即p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)．
15．如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于________．
[答案] －a＋b＋c
[解析] ＝－＝(＋)－
＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
[点评] 空间向量的线性表示及运算与平面对量类似，要结合图形机敏运用三角形法则和平行四边形法则．
三、解答题
16.(2022·海口模拟)如图，在45°的二面角α－l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，求CD的长度．
[解析] 由＝＋＋，cos〈，〉＝cos45°·cos45°＝，
∴||2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝3＋2(0＋1×1×cos135°－1×1×cos60°)＝2－，
∴||＝.
17．(2022·福建泉州三模)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．
(1)求证：DE∥平面ABC；
(2)求证：B1F⊥平面AEF；
(3)求二面角B1－AE－F的余弦值．
[解析] 如图建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)，
(1)证明：＝(－2,4,0)，平面ABC的法向量为＝(0,0,4)，
∵·＝0，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
(2)证明：＝(－2,2，－4)，＝(2，－2，－2)，
·＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，∴⊥，B1F⊥EF，
·＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，
∴⊥，∴B1F⊥AF.
∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.
(3)平面AEF的法向量为＝(－2,2，－4)，设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)，
∴即
令x＝2，则z＝－2，y＝1，∴n＝(2,1，－2)，
∴cos〈n，〉＝＝＝，
∴二面角B1－AE－F的余弦值为.
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