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【新课教学过程设计（一）】
第三章 直线与方程
第3.1.1节 倾斜角与斜率
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
提出问题引入
我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作很多多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？
直线的倾斜角的概念.
同学回答（不能确定）
（1）它们都经过点P.
（2）它们的倾斜程度不同.
接着老师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.
设疑激趣导入课题
概念形成
1．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特殊地，当直线l与x轴平行或重合时，规定.
老师提问：
倾斜角的取值范围是什么？
当直线l与x轴重合时
（由同学结合图形回答）
概念深化
由于平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
y
a
b
c
x
O
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角.
老师提问：
如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？
同学回答后作出结论.
一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出. 确定一条直线位置的几何要素.
通过这种师生互动引导同学明确确定一条直线位置的两个几何要素
概念形成
2．直线的斜率
一条直线的倾斜角（≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.
由此可知，一条直线l的倾斜角肯定存在，但是斜率k不肯定存在. 例如= 45°时
k = tan45°= 1
= 135°时 k = tan135°= –1
老师提问：（由同学争辩后回答）
（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？
k = tan0°= 0
（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？
= 90°，k不存在
设疑激发同学思考得出结论
概念形成
3．直线的斜率公式
对于上面的斜率公式要留意下面四点：
（1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角= 90°，直线与x轴垂直；
（2）k与P1、P2的挨次无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
（4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角= 0°，直线与x轴平行或重合.
（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.
老师提出问题：
给定两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？
可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种状况，并引导同学如何作帮助线，共同完成斜率公式的推导.
借助多媒体演示让同学亲自体会斜率公式的推导过程.
应用举例
例1 已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并推断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）
分析：已知两点坐标，而且x1 ≠ x2，由斜率公式代入即可求得k的值；
而当时，倾斜角是钝角；
而当时，倾斜角是锐角；
而当时，倾斜角是0°.
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1.
分析：要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以依据直线a的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可.
同学分析求解 ，老师板书
例1 略解：直线AB的斜率k1 = 1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角.
直线BC的斜率k2 = –0.5＜0，所以它的倾斜角是锐角.
例2 略解：设直线a上的另个一点M的坐标为(x，y)，依据斜率公式有1 = (y – 0)/(x – 0)
所以 x = y
可令x = 1，则y = 1，于是点M的坐标为(1，1).此时过原点和点M(1，1)，可作直线a.
同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）
课堂练习：P91 1题、2题、3题、4题.
通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义
归纳总结
（1）直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）直线的斜率公式.
师生共同总结——沟通——完善
引导同学学会自己总结
课后作业
布置作业
见习案3.1第一课时
由同学独立完成
巩固深化
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