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空间向量在立体几何中的应用
[典例] (2022·安徽)平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
(1)证明：AA1⊥BC；
(2)求AA1的长；
(3)求二面角A－BC－A1的余弦值．
[审题视角] 1.审条件，挖解题信息
观看条件：四边形BB1C1C是矩形，面ABC⊥面BB1C1C，面A1B1C1⊥面BB1C1CDD1，B1D1，A1D1两两垂直．
2.审结论，明确解题方向
观看结论：
(1)证明：AA1⊥BC，(2)求AA1的长，(3)求二面角A－BC－A1的余弦值转化为向量运算解决．
[解析] (1)证明：取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD.
由BB1C1C为矩形知，DD1⊥B1C1，
由于平面BB1C1C⊥平面A1B1C1，
所以DD1⊥平面A1B1C1.
又由A1B1＝A1C1知，A1D1⊥B1C1.
故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D1－xyz.
由题设，可得A1D1＝2，AD＝1.
由以上可知AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C，于是AD∥A1D1.
所以A(0，－1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(－1,0,4)，D(0,0,4)，
故＝(0,3，－4)，＝(－2，0,0)，·＝0，
因此⊥，即AA1⊥BC.
(2)解：由于＝(0,3，－4)，所以||＝5，即AA1＝5.
(3)解：连接A1D.
由BC⊥AD，BC⊥AA1，可知BC⊥平面A1AD，BC⊥A1D，所以∠ADA1为二面角A－BC－A1的平面角．
由于＝(0，－1,0)，＝(0,2，－4)，
所以cos〈，〉＝－＝－，
即二面角A－BC－A1的余弦值为－.(或用法向量求解)
利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤：
第一步 理清题意
利用条件分析问题，建立恰当的空间直角坐标系．
其次步 确定相关点的坐标
结合建系过程与图形，精确 地写出相关点的坐标
第三步 确立平面的法向量
利用点的坐标求出相关直线的方向向量和平面的法向量，若已知某直线垂直某平面，可直接取直线的一个方向向量为该平面的法向量
第四步 转化为向量运算
将空间位置关系转化为向量关系，空间角转化为向量的夹角问题去论证，求解
第五步 问题还原
结合条件与图形，作出结论(留意角的范围)
第六步 反思回顾
回顾检查建系过程、坐标是否有错及是否忽视了所求角的范围而写错结论
1．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的全部棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
证明：如图所示，取BC的中点O，连接AO.由于△ABC为正三角形，
所以AO⊥BC.
由于在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则B(1,0.0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．
由于n⊥，n⊥，
故⇒
令x＝1，则y＝2，z＝－，
故n＝(1,2，－)为平面A1BD的一个法向量，而＝(1,2，－)，
所以＝n，所以∥n，
故AB1⊥平面A1BD.
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