1、空间向量在立体几何中的应用典例(2022安徽)平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC2，BB14，ABAC，A1B1A1C1，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使ABC与A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题(1)证明：AA1BC；(2)求AA1的长；(3)求二面角ABCA1的余弦值审题视角1.审条件，挖解题信息观看条件：四边形BB1C1C是矩形，面ABC面BB1C1C，面A1B1C1面BB1C1CDD1，B1D1，A1D1两两垂直2.审结论，明确解题方向观看结论：(1
2、)证明：AA1BC，(2)求AA1的长，(3)求二面角ABCA1的余弦值转化为向量运算解决解析(1)证明：取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD.由BB1C1C为矩形知，DD1B1C1，由于平面BB1C1C平面A1B1C1，所以DD1平面A1B1C1.又由A1B1A1C1知，A1D1B1C1.故以D1为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系D1xyz.由题设，可得A1D12，AD1.由以上可知AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，于是ADA1D1.所以A(0，1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(1,0,4)，D(0,0,4)，故(0,3，4
3、)，(2，0,0)，0，因此，即AA1BC.(2)解：由于(0,3，4)，所以|5，即AA15.(3)解：连接A1D.由BCAD，BCAA1，可知BC平面A1AD，BCA1D，所以ADA1为二面角ABCA1的平面角由于(0，1,0)，(0,2，4)，所以cos，即二面角ABCA1的余弦值为.(或用法向量求解)利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤：第一步理清题意利用条件分析问题，建立恰当的空间直角坐标系其次步确定相关点的坐标结合建系过程与图形，精确地写出相关点的坐标第三步确立平面的法向量利用点的坐标求出相关直线的方向向量和平面的法向量，若已知某直线垂直某平面，可直接取直线的一个方向向量为该平面
4、的法向量第四步转化为向量运算将空间位置关系转化为向量关系，空间角转化为向量的夹角问题去论证，求解第五步问题还原结合条件与图形，作出结论(留意角的范围)第六步反思回顾回顾检查建系过程、坐标是否有错及是否忽视了所求角的范围而写错结论1如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的全部棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD.证明：如图所示，取BC的中点O，连接AO.由于ABC为正三角形，所以AOBC.由于在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0.0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，(1,2，)，(2,1,0)由于n，n，故令x1，则y2，z，故n(1,2，)为平面A1BD的一个法向量，而(1,2，)，所以n，所以n，故AB1平面A1BD.
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