宁夏银川一中2020-2021学年度高二上学期期末考试-数学(理)-Word版含答案.docx

银川一中2022/2021学年度(上)高二期末考试
数 学 试 卷(理科)

一、选择题：（每题5分）
1．若复数满足，则等于
A．2+4i B．2-4i C．4-2i D．4+2i
2. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )
A．假设a、b、c都是偶数 B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数 D．假设a、b、c至多有两个偶数
3．若向量＝(1,1，x)，＝(1,2,1)，＝(1,1,1)，满足条
件(－)·(2)＝－2，则x的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．曲线在点处的切线的纵截距为（ ）
Ａ．- Ｂ．- Ｃ． Ｄ．
5．如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1
中，M 是AC与BD的交点，若，
则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B.
A
B
C
O
D
F
C． D．
6．如图，ABCD是边长为1的正方形，O为AD中点，抛物
线F的顶点为O且通过点C，则阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)
A. B. C. D.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)
8. 如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，依据图案中点的排列规律,第100个图形由多少个点组成（ ）

A. 9900 B. 9901 C. 9902 D. 9903
9. 设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
10. 已知，是区间上任意两个值，恒成立，则M的最小值是（ ）
A. -2 B. 0 C. 2 D. 4
11. 若上是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．已知定义在R上的奇函数为f(x)，导函数为，当时，恒有
，令F(x)=xf(x)，则满足F(3)>F(2x-1)的实数x的取值范围是( )
A．(-1,2) B. (-1,) C. (-2,) D. (-2,1)
二、填空题：（每题5分）
13．函数在区间上的最小值是＿＿＿＿．
14．设平面α与向量＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量＝(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．
15. 设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，
观看上述结果，可推想一般的结论为_____________________．
16．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为________.
三、解答题：
17.（本小题满分10分）
已知a>0,b>0，求证：

18.（本小题满分12分）
直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，
D、E分别为AB、BB′的中点．
(1)求证：CE⊥A′D；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

19.（本小题满分12分）
用数学归纳法证明：.

20.（本小题满分12分）
　　在四棱锥中，底面，，
, 且.
(1)若是的中点，求证：平面;
(2)求二面角的余弦值．

21．(本小题满分12分)
设函数f(x)=(x2-x-)eax (a>0，a∈R))
(1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间.
(2)若不等式f(x)+≥0对x∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范围.

22. （本小题满分12）
已知，其中是自然常数，
（1）争辩时, 的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数，使的最小值是，假如存在，求出的值；假如不存在，说明理由．

高二期末数学(理科)试卷参考答案
一、选择题：（每题5分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
B
A
D
C
D
B
A
D
C
A
二、填空题：（每题5分）
13． 14．垂直 15. f()≥ 16． 2
三、解答题：
17．法1：∵a>0,b>0
∴

∴
法2：要证：
只需证：
只需证：
只需证：
只需证：恒成立
∴
18.．解：(1)证明：设 ＝a， ＝b， ＝c，
依据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴ ＝b＋c， ＝－c＋b－a.
∴ · ＝－c2＋b2＝0，
∴ ⊥ ，即CE⊥A′D.
(2) ＝－a＋c，∴| |＝|a|，| |＝|a|.
·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，
∴cos〈 ，〉＝＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
19.证明：①n=1时，左=，右=，等式成立
②假设n=k时，
当n=k+1时，

即：n=k+1时，等式成立，由①②知，对一切nN+,等式成立。
20. 解：（1）如图，建立空间直角坐标系．连接,易知为等边三角形，，则
．又易知平面的法向量
为 ,
由,得 ,
所以平面………………………6分
(2)在中，,则,由正弦定理,
得,即，所以，．
设平面的法向量为，
由，
令，则，即…………………10分
又平面的法向量为,
所以，．
即二面角的余弦值为………………………13分
21..对函数求导得 f(x)=eax(ax+2)(x-1)…………….2分
(1)当a=2时，f’(x)=e2x(2x+2)(x-1), 令f’(x)>0, x>1,或x<-1………3分
所以f(x)的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调减区间为（-1，1）……5分
（2）令f’(x)=0, (ax+2)(x-1)=0解得x=-或x=1,由于a>0,x∈(0,+∞)…….7分
x
(0,1)
1
（1，+∞）
f’(x)
—
0
+
f(x)
减函数
微小值
增函数
由表可知函数在x=1时取得微小值f(1)=-ea……………………………………10分
由于不等式f(x)+≥0,对x∈(0,+∞)恒成立，所以-ea+≥0,解得0<a≤ln3…12分
22. 解析：（1）
当时，，此时为单调递减，
当时，，此时为单调递增，
的微小值为 ．
（2）的微小值，即在的最小值为，
令
又， 当时
在上单调递减

当时，
（3）假设存在实数，使有最小值，，
①当a≥0时，≥0
函数在[-e,0)上为增函数

得(舍去)
②当时，由于，则
函数是上的增函数

解得（舍去）
③当时，则当时，
此时是减函数
当时，，此时是增函数

解得
综上，存在满足条件