2021高考数学(文-江苏专用)二轮复习-专题五-第一讲-直线与圆17-【完善提高】.docx

典例　如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-4,0),F2(4,0),A(0,8),直线y=t(0<t<8)与线段AF1,AF2分别交于点P,Q.过点Q作直线QR∥AF1,交F1F2于点R,记△PRF1的外接圆为圆C.

(典例)
(1) 求证:圆心C在定直线7x+4y+8=0上.
(2) 圆C是否恒过异于点F1的一个定点?若过,求出该定点的坐标;若不过,请说明理由.
【思维引导】

【规范解答】
(1) 方法一:易得直线AF1:y=2x+8,AF2:y=-2x+8,
所以可得P,Q.再由QR∥AF1,得R(4-t,0). 3分
则线段F1R的中垂线方程为x=-,线段PF1的中垂线方程为y=-x+.

由
解得△PRF1的外接圆的圆心坐标为. 6分
阅历证,该圆心在定直线7x+4y+8=0上.8分
方法二:易得直线AF1:y=2x+8,AF2:y=-2x+8,所以可得P,Q.
再由QR∥AF1,得R(4-t,0).3分

设△PRF1的外接圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以圆心坐标为, 6分
阅历证,该圆心在定直线7x+4y+8=0上. 6分

(2) 由(1)可得圆C的方程为x2+y2+tx+y+4t-16=0, 10分
该方程可整理为(x2+y2+2y-16)+t=0,
则由 12分
解得或 14分
所以圆C恒过异于点F1的一个定点,该定点的坐标为. 16分

变式　已知圆O的方程为x2+y2=1,设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,直线PM交直线l:x=3于点P',直线QM交直线l于点Q'.求证:以P'Q'为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标.
【解答】　由题知,P(-1,0),Q(1,0).设M(s,t),则直线PM的方程为y=(x+1).
联立方程组,得P'.
同理可得,Q'.
故以P'Q'为直径的圆C的方程为(x-3)2+=0,
又s2+t2=1,所以整理得(x2+y2-6x+1)+y=0.
若圆C经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得x=3±2,
所以圆C总经过的定点坐标为(3±2,0).

温馨提示:趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第2526页.