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龙海二中2022-2021学年上学期期末考
高三数学（文）试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
命题人：龙海二中 郭文俊
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则(∁IA)∪B为（ ）
A．{3} B．{1,3} C．{3,4} D．{1,3,4}
2．．复数的虚部为 （ ）
A． B． C． D. 2
3. 已知向量，若,则（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5.阅读右边的程序框图，假如输出的函数值在区间内，那么输入实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.在边长为的正方形内任取一点，则点到点的距离小于的概率为（ ）
A． B． C． D．
7.设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
(A)10 (B) 8 (C) 7 ( D)2
8. 中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f(2 014)＋f(2 015)＝（ ）
（10题）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其 中俯视图中椭圆的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
11．已知定义在实数集R上的函数满足=2，且的导数在R上恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．∪
12. 已知是虚数单位，记，其中，给出以下结论：
① ② ③，则其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置.
13. 已知，则的值为 。
14．如图，在平面直角坐标系中，锐角的终边分别与单位圆交于两点．假如，点的横坐标为，则 ．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
G
H
15．已知圆与圆交于两点，则直线的方程为 .
16. 如图，在透亮材料制成的长方体容器
内灌注一些水，固定容器底面一边于桌面上，再将
容器倾斜，依据倾斜度的不同，有下列命题：
（1）水的部分始终呈棱柱形；
（2）水面四边形的面积不会转变；
（3）棱始终与水面平行；
（4）当容器倾斜如图所示时，是定值。
其中全部正确命题的序号是 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
已知函数
（1）求函数的最小正周期和值域；
（2）已知的内角所对的边分别为，若，且求的面积.
18（本小题满分12分）
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
19．（本小题满分12分）
设是公差大于零的等差数列，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设是以函数的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列的前项和.
20．（本小题满分12分）
如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.
（Ⅰ）当点E为BC的中点时， 证明EF//平面PAC；
（Ⅱ）求三棱锥E-PAD的体积；
（Ⅲ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF.
21. (本小题满分12分)
已知x∈[0，1]，函数.
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）设a ≤-1，若，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围.
22．（本小题满分14分）
已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与轴交于点
(1)求证：成等比数列；
(2)设，，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
龙海二中2022-2021学年上学期期末考
高三数学（文）参考答案
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
C
B
C
B
A
A
D
A
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13. 3 14. 15 . 16 （1） （3）（4）
17. (本小题满分12分)
解：（1） ………3分
所以函数的最小正周期，值域为 ………6分
,,,,, ………8分
,由正弦定理得,
………9分
………10分
………12分
18. (本小题满分12分)
解析：（Ⅰ）由于工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：
………3分
所以各地区抽取商品数为：，，；……6分
（Ⅱ）设各地区商品分别为： ………7分
6件样品中随机抽取2件的基本大事为：
，共15个.……9分
2件商品来自相同地区的基本大事为：…11分
记“这两件商品来自同一地区的大事”为A，则它的概率为：.……12分
19．(本小题满分12分)
解：（1）设的公差为，则
解得或（舍）……5分
所以 …………6分
（2）
其最小正周期为，故首项为1；………7分
由于公比为3，从而 …………8分
所以
故
………12分
20.(本小题满分12分)
解（Ⅰ）证明： 连结AC，EF
∵点E、F分别是边BC、PB的中点
∴中， …………………………………2分
又 ………………3分
∴当点E是BC的中点时，EF//平面PAC …………4分
（Ⅱ）∵PA平面ABCD且
∴，，
∴中，PA =，AD=1
∴ ………6分
又四边形ABCD为矩形
∴
又AD和PA是面PAD上两相交直线
∴
又AD//BC
∴AB就是三棱锥E-PAD的高． ……………………………7分
∴ . ……………8分
（Ⅲ）∵，PA=AB=，点F是PB的中点
∴等腰中， …………………………9分
又，且PA和AB是平面PAB上两相交直线
∴BC平面PAB
又
∴ …………………………………………………10分
又PB和BC是平面PBC上两相交直线
∴ …………………………………………11分
又 ∴
∴无论点E在边BC的何处，都有PEAF成立. …………………………………12分
21. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）f'（x）=2x-，
令f'（x）=0，解得：，x=-1（舍去）……………………2分
列表：
x
0
（0，）
（，1）
1
f '（x）
-
0
+
f（x）
ln2
↘
↗
1-ln
可知f（x）的单调减区间是（0，），增区间是（，1）；……4分
由于<1-ln=ln2-（ln3-1）<ln2，
所以当x[0，1]时，f（x）的值域为[，ln2]…………………6分
（Ⅱ）g'（x）=3（x2-a2）
由于a≤-1，x[0，1]所以g'（x）<0，…………………………8分
g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0），
所以g（x）[1-4a-3a2，-4a]…………………………………………10分
由于当x[0，1]时，f（x）的值域为[，ln2]
由题意知：[，ln2][1-4a-3a2，-4a]
所以
又a≤-1，得a≤-。……………………………………………………12分
22. (本小题满分14分)
解：(1)证明：设直线的方程为：，………1分
联立方程可得得①………2分
设，，，则，②………3分
，………4分
而，∴，………5分
即成等比数列．………6分
(2)由，得
，，………9分
即得：，则 ………12分
由(1)中②代入得，故为定值且定值为－1. ………14分
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