2021高考数学(人教版)一轮复习学案6-函数的奇偶性与周期性.docx

学案6　函数的奇偶性与周期性
导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会推断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．

自主梳理
1．函数奇偶性的定义
假如对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；假如对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有____________，则称f(x)为偶函数．
2．奇偶函数的性质
(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；
f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.
(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于_____ ___
对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．
3．函数的周期性
(1)定义：假如存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________________．
(2)性质： ①f(x＋T)＝f(x)经常写作f(x＋)＝f(x－)．
②假如T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．
③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．
自我检测
1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2011·茂名月考)假如奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 (　　)
A．增函数且最小值是－5
B．增函数且最大值是－5
C．减函数且最大值是－5
D．减函数且最小值是－5
3．函数y＝x－的图象 (　　)
A．关于原点对称
B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
4．(2009·江西改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 012)＋f(2 011)的值为 (　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5．(2011·开封模拟)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.

探究点一　函数奇偶性的判定
例1　推断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝(x＋1) ；(2)f(x)＝x(＋)；
(3)f(x)＝log2(x＋)；(4)f(x)＝

变式迁移1　推断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x2－x3；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.

探究点二　函数单调性与奇偶性的综合应用
例2　函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f[x(x－)]<0的解集．

变式迁移2　(2011·承德模拟)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．
探究点三　函数性质的综合应用
例3　(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
变式迁移3　定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)(　　)
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数

转化与化归思想的应用
例　(12分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)推断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)假如f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
【答题模板】
解　(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.[2分]
(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.[4分]
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．[6分]
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，[7分]
∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，
即f((3x＋1)(2x－6))≤f(64)[8分]
∵f(x)为偶函数，
∴f(|(3x＋1)(2x－6|)≤f(64)．[10分]
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D.
∴0<|(3x＋1)(2x－6)|≤64.[11分]
解上式，得3<x≤5或－≤x<－或－<x<3.
∴x的取值范围为{x|－≤x<－或－<x<3或3<x≤5}．[12分]
【突破思维障碍】
在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f(g(x))≤f(a)的形式，但思维障碍在于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，g(x)是否大于0不行而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合(2)中f(x)是偶函数的结论，则有f(g(x))＝f(|g(x)|)，又若能留意到f(x)的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g(x)|>0，从而得出0<|g(x)|≤a，解之得x的范围．
【易错点剖析】
在(3)中，由f(|(3x＋1)·(2x－6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中，假如思维不缜密，不能准时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易毁灭0≤|(3x＋1)(2x－6)|≤64，导致结果错误．

1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必需把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是推断函数奇偶性的主要依据．为了便于推断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它推断函数的奇偶性．
4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f(x)，若有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a为常数且a≠0)，则f(x)的一个周期为2a

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·吉林模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
2．(2010·银川一中高三班级第四次月考)已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，若f(－3)＝0，则<0的解集为 (　　)
A．(－3,0)∪(0,3)
B．(－∞，－3)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3,0)∪(3，＋∞)
3．(2011·鞍山月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－，当1≤x≤2时，f(x)＝x－2，则f(6.5)等于 (　　)
A．4.5 B．－4.5
C．0.5 D．－0.5
4．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于 (　　)
A．3 B．1 C．－1 D．－3
5．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)大小关系是 (　　)
A．f(－1)>f(2) B．f(－1)<f(2)
C．f(－1)＝f(2) D．无法确定
题号
1
2
3
4
5
答案

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·辽宁部分重点中学5月联考)若函数f(x)＝是奇函数，则a＋b＝________.
7．(2011·咸阳月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且f(1)>1，f(2)＝，则m的取值范围是________．
8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 010)的值为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011·汕头模拟)已知f(x)是定义在[－6,6]上的奇函数，且f(x)在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的表达式．

10．(12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)
(1)证明f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．

11．(14分)(2011·舟山调研)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)争辩函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．

答案 自主梳理
1．f(－x)＝－f(x)　f(－x)＝f(x)
2．(1)0　0　(2)y　原点　(3)相反
3．(1)f(x)　周期　最小正周期　(2)③2a
自我检测
1．B　[由于f(x)为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]
2．A　[奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]
3．A　[由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]
4．C　[f(－2 012)＋f(2 011)＝f(2 012)＋f(2 011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log2(1＋1)＝1.]
5．－1
解析　∵f(－1)＝0，∴f(1)＝2(a＋1)＝0，
∴a＝－1.代入检验f(x)＝是奇函数，故a＝－1.
课堂活动区
例1　解题导引　推断函数奇偶性的方法．
(1)定义法：用函数奇偶性的定义推断．(先看定义域是否关于原点对称)．
(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)为偶函数．
(3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．
解　(1)定义域要求≥0且x≠－1，
∴－1<x≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(－x)＝－x
＝－x＝
＝＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(3)函数定义域为R.
∵f(－x)＝log2(－x＋)
＝log2＝－log2(x＋)
＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x<0时，－x>0，则
f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，则
f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．
∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
变式迁移1　解　(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)由得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]．
∴定义域关于原点对称，
又f(x)＝，f(－x)＝－
∴f(－x)＝－f(x)
∴f(x)为奇函数．
例2　解题导引　本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．
在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．
解　∵y＝f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数，
∴y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，
且由f(1)＝0得f(－1)＝0.
若f[x(x－)]<0＝f(1)，
则即0<x(x－)<1，
解得<x<或<x<0.
若f[x(x－)]<0＝f(－1)，则
由x(x－)<－1，解得x∈∅.
∴原不等式的解集是
{x|<x<或<x<0}．
变式迁移2　(－2，)
解析　易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0，等价于f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，此时应用mx－2<－x，即mx＋x－2<0对全部m∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx＋x－2，
此时，只需即可，解得x∈(－2，)．
例3　解题导引　解决此类抽象函数问题，依据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．
－8
解析　由于定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又由于f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.

变式迁移3　B　[∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x＋1)＝f(1－x)．
∴x＝1为函数f(x)的一条对称轴．

又f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]
＝f(－x)＝f(x)，
∴2是函数f(x)的一个周期．
依据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：
由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．]
课后练习区
1．B　[依题意得，∴，
∴a＋b＝.]
2．D

　[由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为右图，故<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．]
3．D　[由f(x＋2)＝－，
得f(x＋4)＝－＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．由于f(x)是偶函数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，
∴f(1.5)＝－0.5.由上知：f(6.5)＝－0.5.]
4．D　[由于奇函数f(x)在x＝0有定义，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.
∴f(x)＝2x＋2x－1，f(1)＝3，
从而f(－1)＝－f(1)＝－3.]
5．A　[由y＝f(x＋1)是偶函数，得到y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．
又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．]
6．1
解析　∵f(x)是奇函数，且x∈R，∴f(0)＝0，即a＝0.又f(－1)＝－f(1)，∴b－1＝－(1－1)＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.
7．－1<m<
解析　∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．
∵f(x)为奇函数，且f(1)>1，
∴f(－1)＝－f(1)<－1，∴<－1.
解得：－1<m<.
8．2
解析　由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，
又g(x)为R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∴f(－x－1)＝－f(x－1)，
即f(x－1)＝－f(－x－1)，
用x＋1替换x，得f(x)＝－f(－x－2)．
又f(x)是R上的偶函数，∴f(x)＝－f(x＋2)．
∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4.
∴f(2 010)＝f(4×502＋2)＝f(2)＝2.
9．解　由题意，当3≤x≤6时，设f(x)＝a(x－5)2＋3，
∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a＝－1.
∴f(x)＝－(x－5)2＋3(3≤x≤6)．…………………………………………………………(3分)
∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.
又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.
∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．
∴f(x)＝－x(0≤x≤3)．…………………………………………………………………(6分)
当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]，
∴f(－x)＝－(－x)＝x.
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x.
∴f(x)＝－x(－3≤x≤3)．………………………………………………………………(9分)
当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6，
∴f(－x)＝－(－x－5)2＋3＝－(x＋5)2＋3.
又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x＋5)2－3.
∴f(x)＝
10．解　(1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．………………………………………………………(2分)
(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝
依据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．
……………………………………(6分)
(3)由(2)中函数图象可知，函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………(8分)
(4)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；
当x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2；
故函数f(x)的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(12分)
11．解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，
若x＝±1时，则f(－1)＋f(1)＝2≠0；
∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1)
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)
综上所述，当a＝0时，f(x)为偶函数；
当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)
(2)设2≤x1<x2，
f(x1)－f(x2)＝x＋－x－
＝[x1x2(x1＋x2)－a]，………………………………………………………………(10分)
要使f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必需使f(x1)－f(x2)<0恒成立．
∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分)
又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，
∴a的取值范围为(－∞，16]．…………………………………………………………(14分)

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