2021高考数学(福建-理)一轮作业：10.8二项分布及其应用.docx

二项分布及其应用
一、选择题
1．甲、乙两地都位于长江下游，依据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为(　　)
A．0.6 B．0.7
C．0.8 D．0.66
解析 甲市为雨天记为大事A，乙市为雨天记为大事B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，
P(AB)＝0.12，
∴P(B|A)＝＝＝0.6.
答案 A
2． 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面对上”为大事A，“骰子向上的点数是3”为大事B，则大事A，B中至少有一件发生的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析 本题涉及古典概型概率的计算．本学问点在考纲中为B级要求．由题意得P(A)＝，P(B)＝，则大事A，B至少有一件发生的概率是1－P()·P()＝1－×＝.
答案 C
3．在4次独立重复试验中，随机大事A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则大事A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)．
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1]
解析　设大事A发生的概率为p，则Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.
答案　A
4．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发觉至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则(　　)．
A．p1＝p2 B．p1<p2
C．p1>p2 D．以上三种状况都有可能
解析　p1＝1－10＝1－10
＝1－5，
p2＝1－5＝1－5
则p1<p2.
答案　B
5．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规章移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析 左移两次，右移三次，概率是C23＝.
答案　C
6．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，其次次取到白球的概率是(　　)．
A. B.
C. D.
解析　在第一次取到白球的条件下，在其次次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，所以取到白球的概率P＝＝，故选C.
答案　C
7．一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F
为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，
则灯亮的概率是(　　)．
A. B.
C. D.
解析　设A与B中至少有一个不闭合的大事为T，
E与F至少有一个不闭合的大事为R，
则P(T)＝P(R)＝1－×＝，
所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P()P()＝.
答案　B
二、填空题
8．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一大事的概率是________．
解析 设“任取一书是文科书”的大事为A，“任取一书是精装书”的大事为B，则A、B是相互独立的大事，所求概率为P(AB)．
据题意可知P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
答案
9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
解析　设种子发芽为大事A，种子成长为幼苗为大事B(发芽，又成活为幼苗)出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
依据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
答案　0.72
12．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，竞赛挨次是：第一局是甲队对乙队，其次局是第一局的胜者对丙队，第三局是其次局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对其次局败者，则乙队连胜四局的概率为________．
解析 设乙队连胜四局为大事A，有下列状况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；其次局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.50，因各局竞赛中的大事相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.
答案 0.09　
11．将一枚硬币抛掷6次，则正面毁灭的次数比反面毁灭的次数多的概率为________．
解析　由题意知，正面可以毁灭6次，5次，4次，所求概率
P＝C6＋C6＋C6
＝＝.
答案　
12．某次学问竞赛规章如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
解析　由已知条件第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”大事为A，则P(A)＝0.8，
P＝P
＝(1－P(A)] P(A) P(A)＝0.128.
答案　0.128
三、解答题
13．某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
(1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
(2)若目标被击中2次，A表示大事“第一部分至少被击中1次或其次部分被击中2次”，求P(A)．
解析 (1)依题意X的分布列为

X
0
1
2
3
4
P

(2)设Ai表示大事”第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1，2.
Bi表示大事”其次次击中目标时，击中第i部分”，i＝1,2.
依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A＝A1∪B1∪A1B1∪A2B2，
所求的概率为
P(A)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)
＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.
14．某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票打算，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必需且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则打算对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．
(1)求该公司打算对该项目投资的概率；
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．
解析　(1)该公司打算对该项目投资的概率为
P＝C2＋C3＝.
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：

“同意”票张数
“中立”票张数
“反对”票张数
大事A
0
0
3
大事B
1
0
2
大事C
1
1
1
大事D
0
1
2
P(A)＝C3＝，
P(B)＝C3＝，
P(C)＝CC3＝，
P(D)＝C3＝.
∵A、B、C、D互斥，
∴P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝.
15．依据空气质量指数API(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：
API
0～50
51～100
101～150
151～200
201～250
251～300
>300
级别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ1
Ⅲ2
Ⅳ1
Ⅳ2
Ⅴ
状况
优
良
略微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染

对某城市一年(365天)的空气质量进行监测，获得的API数据依据区间[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]，(250,300]进行分组，得到频率分布直方图如下图．
(1)求直方图中x的值；
(2)计算一年中空气质量为良或略微污染的天数；
(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或略微污染的概率．
(结果用分数表示．已知57＝78 125,27＝128，
＋＋＋＋＝，365＝73×5)

解析　(1)x＝－
＝.
(2)×50×365＝219.
(3)每天空气质量为良或略微污染的概率为P，则P＝＝，设X是一周内空气质量为良或略微污染的天数
则X～B，
P(X＝0)＝C7，
P(X＝1)＝C6，
P＝1－7－
＝
＝.
16．学校游园活动有这样一个玩耍项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次玩耍从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次玩耍结束后将球放回原箱)
(1)求在1次玩耍中，
(ⅰ)摸出3个白球的概率；
(ⅱ)获奖的概率；
(2)求在2次玩耍中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
解析　(1)(ⅰ)设“在1次玩耍中摸出i个白球”为大事Ai(i＝0,1,2,3)，
则P(A3)＝·＝.
(ⅱ)设“在1次玩耍中获奖”为大事B，则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知X的全部可能取值为0,1,2.
由于X听从二项分布，即X～B.
∴P(X＝0)＝2＝，
P(X＝1)＝C×＝，
P(X＝2)＝2＝.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P

X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.