2021高考数学(福建-理)一轮作业：6.2-等差数列及其前n项和.docx

6.2 等差数列及其前n项和一、选择题1 an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和若S10S11，则a1()A18 B20C22 D24解析：由S10S11得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.答案：B2设等差数列an的前n项和为Sn.若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6 B7 C8 D9解析由a4a6a1a911a96，得a95，从而d2，所以Sn11nn(n1)n212n(n6)236，因此当Sn取得最小值时，n6.答案A3在等差数列an中，若a1a4a739，a3a6a927，则S9等于()A66 B99 C144 D297解析a1a4a739，a3a6a927，3a439,3a627，a413，a69.a6a42d9134，d2，a5a4d13211，S99a599.答案B4 设Sn是等差数列an的前n项和，若S830，S47，则a4的值等于()A. B.C. D.解析 由已知，得，即解得则a4a13d，故选C.答案C5设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k()A8 B7 C6 D5解析由a11，公差d2得通项an2n1，又Sk2Skak1ak2，所以2k12k324，得k5.答案D6已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为()A12 B15 C12 D15解析不妨设角A120，cb，则ab4，cb4，于是cos 120，解得b10，所以Sbcsin 12015.答案B7.在等差数列中，,则的前5项和=( )A.7 B.15 C.20 D.25 解析 .答案B二、填空题8已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，a7a54，a1121，Sk9，则k_.解析：a7a52d4，d2，a1a1110d21201，Skk2k29.又kN*，故k3.答案：39. 定义“等和数列”：在一个数列中，假如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18的值为_解析 由题意知anan15，所以a23，a32，a43，a183.答案 310在等差数列an中，a13,11a55a813，则数列an的前n项和Sn的最小值为_解析(直接法)设公差为d，则11(34d)5(37d)13，所以d，所以数列an为递增数列令an0，所以3(n1)0，所以n，又nN*，前6项均为负值，所以Sn的最小值为.答案【点评】 本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式推断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最终利用等差数列的求和公式求得最小值.11两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为_解析设两个数列an，bn的前n项和为Sn，Tn，则，而.答案3112已知数列an满足递推关系式an12an2n1(nN*)，且为等差数列，则的值是_解析由an12an2n1，可得，则，当的值是1时，数列是公差为的等差数列答案1三、解答题13设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1；(2)求d的取值范围思路分析第(1)问建立首项a1与公差d的方程组求解；第(2)问建立首项a1与公差d的方程，利用完全平方公式求范围解析(1)由题意知S63，a6S6S58，所以解得a17，所以S63，a17.(2)由于S5S6150，所以(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210，故(4a19d)2d28，所以d28.故d的取值范围为d2或d2.【点评】 方程思想在数列中经常用到，如求通项an及Sn时，一般要建立首项a1与公差d(或公比q)的方程组.14已知数列an的前n项和Sn10nn2，(nN*)(1)求a1和an；(2)记bn|an|，求数列bn的前n项和解析 (1)Sn10nn2，a1S11019.Sn10nn2，当n2，nN*时，Sn110(n1)(n1)210nn22n11，anSnSn1(10nn2)(10nn22n11)2n11.又n1时，a192111，符合上式则数列an的通项公式为an2n11(nN*)(2)an2n11，bn|an|设数列bn的前n项和为Tn，n5时，Tn10nn2；n5时TnT52525(n5)2n210n50，数列bn的前n项和Tn15在数列an中，an1an2n44(nN*)，a123.(1)求an；(2)设Sn为an的前n项和，求Sn的最小值思路分析由已知条件可推知n应分奇数和偶数解析(1)由an1an2n44(nN*)，an2an12(n1)44.an2an2，又a2a1244，a219.同理得：a321，a417.故a1，a3，a5，是以a1为首项、2为公差的等差数列，a2，a4，a6，是以a2为首项、2为公差的等差数列从而an(2)当n为偶数时，Sn(a1a2)(a3a4)(an1an)(2144)(2344)2(n1)44213(n1)4422n，故当n22时，Sn取得最小值242.当n为奇数时，Sna1(a2a3)(a4a5)(an1an)a1(2244)2(n1)44a1224(n1)(44)2322(n1)22n.故当n21或n23时，Sn取得最小值243.综上所述：当n为偶数时，Sn取得最小值为242；当n为奇数时，Sn取最小值为243.【点评】 数列中的分类争辩一般有两种：一是对项数n的分类；二是对公比q的分类，解题时只要细心就可避开失误16已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1a(a0)，an1rSn(nN*，rR，r1)(1)求数列an的通项公式；(2)若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，试推断：对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2是否成等差数列，并证明你的结论解析(1)由已知an1rSn，可得an2rSn1，两式相减可得an2an1r(Sn1Sn)ran1，即an2(r1)an1，又a2ra1ra，所以当r0时，数列an为：a,0，0，；当r0，r1时，由已知a0，所以an0(nN*)，于是由an2(r1)an1，可得r1(nN*)，a2，a3，an，成等比数列，当n2时，anr(r1)n2a.综上，数列an的通项公式为an(2)对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列证明如下：当r0时，由(1)知，an对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列当r0，r1时，Sk2Skak1ak2，Sk1Skak1.若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，则Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk，即ak22ak1.由(1)知，a2，a3，am，的公比r12，于是对于任意的mN*，且m2，am12am，从而am24am，am1am22am，即am1，am，am2成等差数列综上，对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列