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求圆锥曲线的标准方程
例1 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 已知动点P到定点Q(,0)的距离与点P到定直线l:x=2的距离之比为,求动点P的轨迹C'的方程.
【分析】 本题主要考查椭圆的定义和椭圆的标准方程等基础学问,以及利用直接法和待定系数法求椭圆方程的基本方法.
【解答】 (1) 依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F'(-2,0),
从而有
解得
又a2=b2+c2,所以b2=12.
故椭圆C的方程为+=1.
(2) 设点P(x,y),依题意,得
=,
整理,得+=1.
所以动点P的轨迹C'的方程为+=1.
【点评】 本题第一问已知焦点即知道了c,再利用椭圆定义先求得2a,从而利用椭圆中a,b,c的关系,求得b,从而得椭圆方程.本题还可以利用待定系数法设椭圆方程为+=1,代入已知点求解,明显没有利用定义来得简洁.
变式 (1) 已知椭圆两焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若 △PF1F2的面积的最大值为12,则椭圆方程为 ;
(2) 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-,0),B(,0),E为动点,且直线EA与直线EB的斜率之积为-,则动点E的轨迹C的方程为 .
【答案】 (1) +=1 (2) +y2=1(x≠±)
【解析】 (1) 当点P为椭圆的短轴顶点时,△PF1F2的面积最大,此时△PF1F2的面积的最大值为S=×8×b=12,所以b=3,所以a2=b2+c2=25,所以椭圆方程为+=1.
(2) 设动点E的坐标为(x,y),依题意可知·=-,
整理得+y2=1(x≠±).所以动点E的轨迹C的方程为+y2=1(x≠±).
求离心率的值或范围
例2 (1) 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若∠BAO+∠BFO=90°,则椭圆的离心率是 ;
(2) 点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于点P,Q,若△PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是 .
【答案】 (1) (2)
【分析】 (1) 构建三角形,用a,b,c表示这两个角,即可建立方程解出离心率e;(2) 依据△PQM是等腰三角形,故将其钝角三角形这一条件转化为顶角的一半小于45°,从而转化为a,b,c的不等式,求出e的取值范围.
【解析】 (1) 方法一:由于∠BAO+∠BFO=90°,所以sin∠BFO=cos∠BAO=cos∠BAF.在△ABF中,由正弦定理得===,即=,所以=,所以a2=b,即a4=(a2-c2)(2a2-c2),化简得e4-3e2+1=0,解得e2=,,故e=(负根舍去).
方法二:易知∠BAF=∠FBO,所以Rt△BFO∽Rt△ABO,则=,即=,所以ac=b2=a2-c2,所以c2+ac-a2=0.即e2+e-1=0,解得e=(负根舍去).
方法三:设椭圆右顶点为C,连接BC,则∠BCO=∠BAF,所以∠BCO+∠BFC=90°,则BF2+BC2=CF2,即a2+a2+b2=(a+c)2,所以2a2-c2=2ac+c2,即c2+ac-a2=0,所以e2+e-1=0,解得e=(负根舍去).
(2) 由题意可知圆M的半径为,点M到y的距离为c.由于△PQM是等腰三角形,故只能是∠PMQ为钝角,从而只须>c即可,即ac<b2=a2-c2,两边同时除以a2并整理得e2+e-1<0,解得<e<,而0<e<1,
所以e∈.
【点评】 (1) 椭圆离心率的求解主要是将所给几何条件进行转化,建立关于a,b,c的齐次方程.本题对于所给条件∠BAO+∠BFO=90°实行了三种转化,分别是正弦定理、余弦定理以及相像三角形,但目的都是全都的;(2) 本题为求离心率的范围的问题,主要是将几何条件“∠PMQ为钝角”转化为边长之间的不等式,再将该不等式转化为关于离心率e的不等式,解不等式即可得到离心率e的取值范围,不能遗忘椭圆的离心率在(0,1)中.
变式 (1) (2022·无锡期末)若双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,则该双曲线离心率的取值范围为 ;
(2) 若椭圆+=1(a>b>0)上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍,则椭圆离心率的最小值为 .
【答案】 (1) (1,2]∪[3,6) (2)
【解析】 (1) 记双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,设点P到右准线的距离为d,则由题意得点P到左焦点的距离PF1=6d,由于PF1-PF2=2a,所以PF2=6d-2a,
所以=,所以d=.又由于d≥a-,所以即解得1<e≤2或3≤e<6,故双曲线的离心率e的取值范围是(1,2]∪[3,6).
(2) 由题意,设点M的横坐标为x,依据焦半径公式得a+ex=2,x=,有-a≤≤a,不等式各边同除以a,得-1≤≤1,则-1≤e+2,即e2+3e-2≥0,
又0<e<1,所以≤e<1,所以该椭圆离心率的最小值为.
与向量相关的圆锥曲线问题
例3 (2022·苏州期末)如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),点P在椭圆上(e为椭圆的离心率).
(例3)
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若点B,C(C在第一象限)都在椭圆上,满足=λ,且·=0,求实数λ的值.
【分析】 第一小问依据A,P这两点坐标代入椭圆方程即可求出;其次小问中两个向量条件分别说明白OC∥BA,OC⊥OB,可利用这两个条件求解参数λ.
【解答】 (1) 由已知,a=2,e=,将P代入椭圆的方程,得+=1.
由于b2+c2=4,所以b2=1,c2=3.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2) 明显直线OC的斜率存在.
设直线OC的斜率为k,则直线OC的方程为y=kx,代入椭圆方程+y2=1,即x2+4y2=4,得(1+4k2)x2=4,所以xC=.则C.
又直线AB的方程为y=k(x-2),代入椭圆方程x2+4y2=4,得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0.
由于xA=2,所以xB=.
则B.
由于·=0,所以
·+·=0.
所以k2=.由于点C在第一象限,
所以k>0,k=.
由于=.
=
=.
由=λ,得λ=.
由于k=,所以λ=.
【点评】 在圆锥曲线的问题中毁灭了与向量有关系的问题时,此类问题包含两个方面,一是题干中的条件用向量来描述,二是将所给条件用向量来转化.如本题中的向量条件“=λ,且·=0”其转化方向有两个,一是直接代入坐标,转化为坐标之间的等式,二是利用其几何特征转化为直线与直线的位置关系来处理.
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