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2020-2021学年高中数学选修1-2双基限时练7.docx

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双基限时练(七) 1.应用反证法推出冲突的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 (  ) ①结论相反的推断,即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论 A.①②         B.①②④ C.①②③ D.②③ 答案 C 2.假如两个实数之和为正数,则这两个数(  ) A.一个是正数,一个是负数 B.两个都是正数 C.两个都是非负数 D.至少有一个是正数 答案 D 3.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,用反证法求证a>0,b>0,c>0时的假设为(  ) A.a<0,b<0,c>0 B.a≤0,b>0,c>0 C.a,b,c不全是正数 D.abc<0 答案 C 4.否定“至多有两个解”的说法中,正确的是(  ) A.有一个解 B.有两个解 C.至少有两个解 D.至少有三个解 答案 D 5.设a,b,c都是正数,则三个数a+,b+,c+(  ) A.都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 解析 ∵a>0,b>0,c>0, ∴a++b++c+ =(a+)+(b+)+(c+) ≥2+2+2=6. 由此可断定三个数a+,b+,c+至少有一个不小于2. 答案 C 6.命题“a,b∈R,若|a-1|+|b-1|=0,则a=b=1”用反证法证明时应假设为________. 答案 a≠1,或b≠1 7.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°冲突,故假设错误; ②所以一个三角形不能有两个直角; ③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°. 以上步骤正确的挨次是________. 答案 ③①② 8.有下列四个命题: ①同一平面内,与两条相交直线分别垂直的两条直线必相交; ②两个不相等的角不是直角; ③平行四边形的对角线相互平分; ④已知x,y∈R,且x+y>2,求证:x、y中至少有一个大于1. 其中适合用反证法证明的是________. 答案 ①②④ 9.假如函数f(x)在区间上是增函数,那么方程f(x)=0在区间上至多有一个实根. 证明 假设方程f(x)=0在上至少有两个实根α,β,即f(α)=f(β)=0, ∵α≠β,不妨设α>β, 又∵f(x)在上单调递增, ∴f(α)>f(β),这与f(α)=f(β)=0冲突. ∴f(x)=0在上至多有一个实根. 10.若下列方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围. 解 设三个方程均无实根,则有 解得 所以-<a<-1. 所以当a≥-1,或a≤-时,三个方程至少有一个方程有实根. 11.假如非零实数a,b,c两两不相等,且2b=a+c. 证明:=+不成立. 证明 假设=+成立,则==, ∴b2=ac. 又∵b=,∴()2=ac,即a2+c2=2ac, 即(a-c)2=0, ∴a=c,这与a,b,c两两不相等冲突, ∴=+不成立. 12.如右图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点. (1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求MN的长; (2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线. 解 (1)如右图,取CD的中点G,连接MG,NG, ∵ABCD,DCEF为正方形,且边长为2, ∴MG⊥CD,MG=2,NG=. ∵平面ABCD⊥平面DCEF, ∴MG⊥平面DCEF. ∴MG⊥GN. ∴MN==. (2)证明 假设直线ME与BN共面,则AB⊂平面MBEN,且平面MBEN∩平面DCEF=EN. 由已知,两正方形ABCD和DCEF不共面, 故AB⊄平面DCEF. 又AB∥CD,∴AB∥平面DCEF, ∴EN∥AB,又AB∥CD∥EF. ∴EF∥NE,这与EF∩EN=E冲突, 故假设不成立. ∴ME与BN不共面,它们是异面直线.
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