高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章-典型例题：定积分的两种非常规用法.docx

例谈定积分的两种格外规用法
定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新颖血液，还给同学供应了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，通常利用定积分可以求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体体积、变速直线运动的路程及变力作功等。另外，利用定积分也能求物体所受的力、证明不等式。
一、求物体所受的力
例1.矩形闸门宽a米，高h米垂直放在水中，上沿与水面平齐，则该闸门所受水的压力F等于 （ ）
其中水的密度为kg/m3，g单位是m/s2，
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示坐标系.取x为积分变量，x∈[0，h]，
（h，）
x
x+dx
O
y
x
任取子区间[x，x+dx][0，h]，∵闸门所受水的压力F=ps，
其中p为压强，s为受力面积，又p=gx，（x为水的深度.），
∴相应一薄层水对闸门的压力近似为：
dF= pds=gxds=gx·a dx，
于是整个闸门所受水的压力F为：F==，
故选A.
点评：闸门所受水的压强p是关于水深x的函数,随着x的变化而变化；且闸门的受力面积s也是关于水深x的函数.所以可用分割、近似代替、求和、取极限的方法,即用定积分的定义来求该闸门所受水的压力F.
例2. 矩形闸门上沿与水面平齐，且垂直放在水中，过此闸门的中心作水平线将矩形闸门分为面积相等的上下两部分，设上部所受水的压力为F1，下部所受水的压力为F2，则等于 （ ）
A. B. C. D. 与矩形的具体尺寸有关
解析：由例1知F1 =，F2=，
∴==.
故选B.
二、利用积分证明不等式
例3.求证16＜＜17.
证明：可以考虑函数f（x）=在区间[k-1，k]（k=2，3，…，80）上的定积分.
由＜，得=1+＜1+
=1+=1+2（）≈16.9＜17.
同理，由＞，有＞
==2（）=16.
综上所述，即证得16＜＜17.