高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章-典型例题：定积分的两种非常规用法.docx

例谈定积分的两种格外规用法定积分是新课标的新增内容，它不仅为传统的高中数学注入了新颖血液，还给同学供应了数学建模的新思路、“用数学”的新意识，通常利用定积分可以求平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体体积、变速直线运动的路程及变力作功等。另外，利用定积分也能求物体所受的力、证明不等式。一、求物体所受的力例1.矩形闸门宽a米，高h米垂直放在水中，上沿与水面平齐，则该闸门所受水的压力F等于 （ ） 其中水的密度为kg/m3，g单位是m/s2， A. B. C. D. 解析：建立如图所示坐标系.取x为积分变量，x0，h，（h，）xx+dxOyx任取子区间x，x+dx0，h，闸门所受水的压力F=ps，其中p为压强，s为受力面积，又p=gx，（x为水的深度.），相应一薄层水对闸门的压力近似为：dF= pds=gxds=gxa dx，于是整个闸门所受水的压力F为：F=，故选A.点评：闸门所受水的压强p是关于水深x的函数,随着x的变化而变化；且闸门的受力面积s也是关于水深x的函数.所以可用分割、近似代替、求和、取极限的方法,即用定积分的定义来求该闸门所受水的压力F.例2. 矩形闸门上沿与水面平齐，且垂直放在水中，过此闸门的中心作水平线将矩形闸门分为面积相等的上下两部分，设上部所受水的压力为F1，下部所受水的压力为F2，则等于 （ ）A. B. C. D. 与矩形的具体尺寸有关解析：由例1知F1 =，F2=，=. 故选B.二、利用积分证明不等式例3.求证1617.证明：可以考虑函数f（x）=在区间k-1，k（k=2，3，80）上的定积分.由，得=1+1+=1+=1+2（）16.917.同理，由，有=2（）=16. 综上所述，即证得1617.