1、
双基限时练(七)
1．应用反证法推出冲突的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 ( )
①结论相反的推断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
答案 C
2．假如两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．两个都是非负数
D．至少有一个是正数
答案 D
3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为( )
A．a<0，b<0，c>0 B．a≤0，b>0，c>0
C．a，b，
2、c不全是正数 D．abc<0
答案 C
4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有两个解 D．至少有三个解
答案 D
5．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
解析 ∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋＋b＋＋c＋
＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)
≥2＋2＋2＝6.
由此可断定三个数a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
答案 C
6．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法
3、证明时应假设为________．
答案 a≠1，或b≠1
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°冲突，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
以上步骤正确的挨次是________．
答案 ③①②
8．有下列四个命题：
①同一平面内，与两条相交直线分别垂直的两条直线必相交；
②两个不相等的角不是直角；
③平行四边形的对角线相互平分；
④已知x，y∈R，且x＋y>2，求证：x、y中至少有一个大于1.
其中
4、适合用反证法证明的是________．
答案 ①②④
9．假如函数f(x)在区间上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间上至多有一个实根．
证明 假设方程f(x)＝0在上至少有两个实根α，β，即f(α)＝f(β)＝0，
∵α≠β，不妨设α>β，
又∵f(x)在上单调递增，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0冲突．
∴f(x)＝0在上至多有一个实根．
10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．
解 设三个方程均无实根，则有
解得
所以－5、－1，或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．
11．假如非零实数a，b，c两两不相等，且2b＝a＋c.
证明：＝＋不成立．
证明 假设＝＋成立，则＝＝，
∴b2＝ac.
又∵b＝，∴()2＝ac，即a2＋c2＝2ac，
即(a－c)2＝0，
∴a＝c，这与a，b，c两两不相等冲突，
∴＝＋不成立．
12．如右图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；
(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
解 (1)如右图，取CD的中点G，连接MG，NG，
∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
∵平面ABCD⊥平面DCEF，
∴MG⊥平面DCEF.
∴MG⊥GN.
∴MN＝＝.
(2)证明 假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN.
由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，
故AB⊄平面DCEF.
又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，
∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF.
∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E冲突，
故假设不成立．
∴ME与BN不共面，它们是异面直线．
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