资源描述
海珠区2022学年高三综合测试（二）
数学（理科）
2022.11
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
留意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必需用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必需保持答题卡的洁净。考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：锥体体积公式,其中S为锥体的底面积，为锥体的高.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，那么集合为
A． B． C． D．
2．若复数满足,则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数的一条对称轴为
A. B. C. D.
4．已知向量的夹角为120，，且，则
A．6 B．7 C．8 D．9
-
5．函数与在同一平面直角坐标系内的大致图象为
6．阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为
A．0 B． C． D．
7．已知椭圆与双曲线
共焦点，设它们在第一象限的交点为，
且，则双曲线的渐近线方程为
A． B．
C． D．
8．若实数满足，则的最小值为
A．8 B． C．2 D.
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．已知是等差数列，，，则该数列前10项和 ．
10．一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为的等边
三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为 .
11．不等式的解集是 ．
12．从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法有 种（用数字作答）．
13．给出下列四个命题：
①已知听从正态分布，且，则；
②“”的一个必要不充分条件是“”；
③函数在点处的切线方程为；
④命题；命题．则命题“”是假命题．
其中正确命题的序号是 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆与直线相交所得的弦长为 .
15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙是的外接圆，，延长到点，使得，连结交⊙于点，连结，若,则的大小为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在中，内角所对的边长分别是,已知，.
（1）求的值；
（2）若，为的中点，求的长.
17．（本小题满分12分）
甲、乙两种元件的质量按测试指标划分为：指标大于或等于85为正品，小于85为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
元件甲
8
12
40
32
8
元件乙
7
18
40
29
6
（1）试分别估量元件甲、元件乙为正品的概率；
（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元. 在（1）的前提下，记为生产1件元件甲和1件元件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图所示，已知垂直以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且,，
（1）求证：⊥；
（2）求二面角的余弦值．
19．（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，满足．
（1）求；
（2）求；
（3）设，求证：对任意正整数，有．
20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为、，动点满足直线与直线的斜率之积为，直线、与直线分别交于点．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）求线段的最小值；
（3）以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数，（）．
（1）当时，求函数的值域；
（2）试争辩函数的单调性．
海珠区2022学高三综合测试（二）
理科数学参考答案与评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要学问和力气，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与参考答案不同，可依据试题主要考查的学问点和力气比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步毁灭错误时，假如后继部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. 解：（1）且，∴．………………1分
∴ ………………2分
………………4分
………………5分
． ………………6分
（2）由（1）可得． ………………7分
由正弦定理得，即， ………………8分
………………12分
17．解：（1）在分别抽取的100件产品中，为正品的元件甲有80件，为正品的元件乙有75件. ………………1分
所以元件甲、乙为正品的频率分别为，. ………………3分
依据频率可估量元件甲、乙为正品的概率分别为，. ………………4分
（2）随机变量的全部取值为150，90，30，－30， ………………5分
则，，
，． ………………9分
所以的分布列为：
150
90
30
-30
………………10分
的数学期望为.……………12分
18．解：（1）由, ，知，，点为的中点．……1分连接．∵，∴为等边三角形． ……………2分
又点为的中点，∴．……………3分
∵平面，平面，
∴． ……………4分
又，平面，
平面，
∴平面． ……………5分
又平面，
∴⊥． ……………6分
（2）解法1:过点作，垂足为，连接．
由（1）知，平面，又⊂平面，∴⊥．……………7分
又，∴⊥平面．
又⊂平面，∴⊥． ……………8分
∴为二面角的平面角． ……………9分
由于， ∴，则．……………12分
在中，由（1）可知，∴， ………13分
∴，即二面角的余弦值为． ……………14分
解法2: 由（1）可知，三线两两垂直，以原点，以分别为轴建立空间直角坐标系. ………7分
则,,, ………8分
∴,, ………9分
设平面与平面的法向量分别为,
明显平面法向量为，………10分
由，,
∴，解得 ………11分
∴ ………12分
，………13分
∴二面角的余弦值为．………14分
19．解：（1）当时，，∴， ……………1分
当时，，∴， ……………2分
∴． ……………4分
(2)由（1）猜想：. ……………5分
下面用数学归纳法证明：
当，明显成立；
假设当时命题成立，即，那么当时，
，
即时命题也成立，
综上可知，． ……………9分
（3）由（2）知， ……………10分
∴， ………11分
∴， …13分
∴． ……………14分
20. 解：（1）已知，设动点的坐标，
∴直线的斜率，直线的斜率（）， ………2分
又，∴， ………………3分
即． ………………4分
（2）设直线的方程为的，直线的方程为的，
………………6分
由，得， ∴； ………………7分
由，得，∴， ………………8分
由，∴，………9分
当且仅当，即时，等号成立，
∴线段长的最小值． ………………10分
（3）设点是以为直径的圆的任意一点，则，即
， ………………11分
又，
故以为直径的圆的方程为：， ………………12分
令，得，解得， ………………13分
∴以为直径的圆经过定点或． ………………14分
21.解:（1）当时，， ………………1分
当时，，当且仅当时，取最小值2． …………2分
当时，，， 在上单调递增，所以． ………………3分
所以当时，的值域为． ………………4分
（2）由，得， ………………5分
①当时，，
当时，，在区间上单调递减， ………………6分
当时，，在区间上单调递增． ………………7分
②当时，，
当时，，在区间上单调递增．………………8分
当时，令，解得，舍去负值，得，
当时，，在区间上单调递减， ………………9分
当时，，在区间上单调递增． ………………10分
③当时，，
当时，，在区间上单调递减．……………11分
当时，令，得，
下面争辩是否落在区间上，
令，解得，令，解得，
当时，当时，，在上单调递减．……………12分
当时，在上存在极值点，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减．……………13分
综上所述：
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在和上
单调递减；
当时，在和上单调递减． ……………14分
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