福田区2015-2016八年级下期末数学试卷含答案解析培训课件.doc

2015-2016学年广东省深圳市福田区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．以下是节水、回收、低碳、绿色包装四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．﹣a＜﹣b B．ac＜bc C．a﹣1＜b﹣1 D．＞
3．使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1
4．下列从左边到右边的变形，因式分解正确的是（　　）
A．2a2﹣2=2（a+1）（a﹣1） B．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9
C．﹣ab2+2ab﹣3b=﹣b（ab﹣2a﹣3） D．x2﹣2x﹣3=x（x﹣2）﹣3
5．如图，▱ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，直线l1的解析式为y1=k1x+b1，直线l2的解析式为y2=k2x+b2，则不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集是（　　）21·cn·jy·com

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
7．若x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．±3 D．±6
8．对分式，通分时，最简公分母是（　　）
A．4（a﹣3）（a+3）2 B．4（a2﹣9）（a2+6a+9） C．8（a2﹣9）（a2+6a+9） D．4（a﹣3）2（a+3）22-1-c-n-j-y
9．一个长为2、宽为1的长方形以下面的四种“姿态”从直线l的左侧水平平移至右侧（下图中的虚线都是水平线）．其中，所需平移的距离最短的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列说法错误的是（　　）
A．x=4是方程的增根
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．命题“平行四边形的对角线互相平分”和它的逆命题是以对互逆定理
D．把点A的横坐标不变，纵坐标乘以﹣1后得到点B，则点A与点B关于y轴对称
11．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=100°，则∠DAE的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
12．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC=60°，则下面的结论：
①∠ABP=30°；②∠APC=60°；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC，
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．七边形的内角和是　　．
14．化简+的结果是　　．
15．若x=5是关于x的不等式2x+5＞a的一个解，但x=4不是它的解，则a的取值范围是　　．
16．如图所示，长方形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到长方形CEFG，连接DG交EF于H连接AF交DG于点M，若AB=4，BC=1，则AM=　　．2·1·c·n·j·y

三、解答题（共7小题，满分52分）
17．分解因式：
（1）3x2﹣12xy+12y2；
（2）（x﹣y）2+16（y﹣x）．
18．先化简，再求值：（﹣）•（a+3），其中a=3+2．
19．如图所示，点P的坐标为（4，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）写出点Q的坐标是　　；
（2）若把点Q向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后，得到的点Q′恰好落在第三象限，求m的取值范围．

20．解方程：．
21．如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．

22．给点燃的蜡烛加上一个特质的外罩后，蜡烛燃烧的时间会更长，为了测量蜡烛在有、无外罩条件下的燃烧时长，某天，小明同时点燃了A、B、C三只同样质地、同样长的蜡烛，他给其中的A、B两只加了外罩，C没加外罩，一段时间后，小明发现自己忘了记录开始时间，于是，他马上请来了小聪，小聪根据现场情况采取了如下的补救措施，在C刚好燃烧完时，他马上拿掉了B的外罩，但没有拿掉A的外罩，结果发现：B在C燃烧完以后12分钟才燃烧完，A在B燃烧完以后8分钟燃烧完（假定蜡烛在“有罩”或“无罩”条件下都是均匀燃烧）设无外罩时，已知蜡烛可以燃烧x分钟，则：
（1）填空：把已知蜡烛的总长度记为单位1，当蜡烛B燃烧完时，它在“有罩”条件下燃烧的长度为　　；在“无罩”条件下燃烧的长度为　　；（两个空都用含有x的代数式表示）
（2）求无外罩时，已知蜡烛可以燃烧多少分钟；
（3）如果一支点燃的蜡烛至少能够燃烧40分钟，则无罩燃烧至多几分钟后就要给这支蜡烛加上外罩？
23．如图1、2，A、B是y轴上的两点（点A在点B的上边），C、D是x轴上的两点（点C在点D的左边），E、F分别是BC、AD的中点．
（1）如图1，过点C作x轴的垂线交AE的延长线于点P，求证：AB=PC；
（2）如图1，连接EF，若AB=4，CD=2，求EF的长；
（3）如图2，若AB=CD，当线段AB、CD分别在y轴、x轴上滑动时，直线EF与x轴正方向的夹角∠α的大小是否会发生变化？若变化，请你说明理由；若不变，请你求出∠α的大小．

2015-2016学年广东省深圳市福田区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．以下是节水、回收、低碳、绿色包装四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．﹣a＜﹣b B．ac＜bc C．a﹣1＜b﹣1 D．＞
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变进行判断；根据不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变进行判断．【版权所有：21教育】
【解答】解：A、由a＜b，则﹣a＞﹣b，故选项错误；
B、当c=0，ac=bc，故选项错误；
C、由a＜b，则a﹣1＜b﹣1，故选项正确；
D、a＜b，可得，错误；
故选C
【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．

3．使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1
【考点】分式有意义的条件．
【分析】分母不为零，分式有意义，依此求解．
【解答】解：由题意得x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选D．
【点评】考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

4．下列从左边到右边的变形，因式分解正确的是（　　）
A．2a2﹣2=2（a+1）（a﹣1） B．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9
C．﹣ab2+2ab﹣3b=﹣b（ab﹣2a﹣3） D．x2﹣2x﹣3=x（x﹣2）﹣3
【考点】提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-十字相乘法等．
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】解：A、因式分解正确，故选项正确；
B、是多项式乘法，不是因式分解，故选项错误；
C、﹣ab2+2ab﹣3b=﹣b（ab﹣2a+3），故选项错误；
D、结果不是整式的积，故选项错误．
故选A．
【点评】考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解﹣十字相乘法等，这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．

5．如图，▱ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出DC=AB=4，AD=BC=6，由线段垂直平分线的性质得出AE=CE，得出△CDE的周长=AD+DC，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6+4=10；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．www-2-1-cnjy-com

6．如图，直线l1的解析式为y1=k1x+b1，直线l2的解析式为y2=k2x+b2，则不等式k1x+b1＞k2x+b2的解集是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】由图象可以知道，当x=﹣2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k1x+b1＞k2x+b2解集．
【解答】解：两个条直线的交点坐标为（﹣2，2），且当x＜﹣2时，直线l1在直线l2的上方，
故不等k1x+b1＞k2x+b2的解集为x＜﹣2．
故选D．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．

7．若x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．±3 D．±6
【考点】完全平方式．
【专题】计算题；整式．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵x2﹣kx+9是一个完全平方式，
∴k=±6，
故选D
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

8．对分式，通分时，最简公分母是（　　）
A．4（a﹣3）（a+3）2 B．4（a2﹣9）（a2+6a+9） C．8（a2﹣9）（a2+6a+9） D．4（a﹣3）2（a+3）2
【考点】最简公分母；通分．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式与的最简公分母是4（a﹣3）（a+3）2，
故选A．
【点评】本题考查了最简公分母的确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．

9．一个长为2、宽为1的长方形以下面的四种“姿态”从直线l的左侧水平平移至右侧（下图中的虚线都是水平线）．其中，所需平移的距离最短的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】平移的性质．
【分析】根据平移的性质，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算出各个图形中平移的距离，然后比较它们的大小即可．
【解答】解：A、平移的距离=1+2=3，
B、平移的距离=2+1=3，
C、平移的距离==，
D、平移的距离=2，
所以选C．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算出各个图形中平移的距离．【来源：21·世纪·教育·网】

10．下列说法错误的是（　　）
A．x=4是方程的增根
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．命题“平行四边形的对角线互相平分”和它的逆命题是以对互逆定理
D．把点A的横坐标不变，纵坐标乘以﹣1后得到点B，则点A与点B关于y轴对称
【考点】命题与定理．
【分析】根据增根的定义对A进行判断；根据平行四边形的判定方法对B进行判断；根据平行四边形的判定与性质对C进行判断；根据关于x轴对称的点的坐标特征对D进行判断．
【解答】解：A、x=4不是方程=1的增根，所以A选项错误；
B、一组对边平行，且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以B选项错误；
C、命题“平行四边形的对角线互相平分”和它的逆命题是互为逆定理，所以C选项正确；
D、把点A的横坐标不变，纵坐标乘以﹣1后得到点B，则点A与点B关于x轴对称，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．熟练掌握分式方程增根的定义、平行四边形的判定与性质和关于坐标轴对称的点的坐标特征．21·世纪*教育网

11．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=100°，则∠DAE的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD=DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD=60°，∠F=100°，即可求出∠DAE的度数．21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD=CD，
∴AD=DE，
∵∠DAE=∠DEA，
∵∠BAD=60°，∠F=100°，
∴∠ADC=120°，∠CDE═∠F=100°，
∴∠ADE=360°﹣120°﹣100°=140°，
∴∠DAE=（180°﹣140°）÷2=20°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．21*cnjy*com

12．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC=60°，则下面的结论：【来源：21cnj*y.co*m】
①∠ABP=30°；②∠APC=60°；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC，
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】角平分线的性质．
【分析】如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．利用角平分线的判定定理和性质定理可得PB是∠ABC的平分线，由△PAN≌△PAH，△PCM≌△PCH，推出∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，由∠MPN=180°﹣∠ABC=120°，推出∠APC=∠MPN=60°，由∠BPN=∠CPA=60°，推出∠CPB=∠APN=∠APH即可一一判断．21*cnjy*com
【解答】解：如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．

∵∠PAH=∠PAN，PN⊥AD，PH⊥AC，
∴PN=PH，同理PM=PH，
∴PN=PM，
∴PB平分∠ABC，
∴∠ABP=∠ABC=30°，故①正确，
∵在Rt△PAH和Rt△PAN中，
，
∴△PAN≌△PAH，同理可证，△PCM≌△PCH，
∴∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，
∵∠MPN=180°﹣∠ABC=120°，
∴∠APC=∠MPN=60°，故②正确，
在Rt△PBN中，∵∠PBN=30°，
∴PB=2PN=2PH，故③正确，
∵∠BPN=∠CPA=60°，
∴∠CPB=∠APN=∠APH，故④正确．
【点评】本题考查角平分线的判定定理和性质定理．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．【出处：21教育名师】

二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．七边形的内角和是　900°　．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】由n边形的内角和是：180°（n﹣2），将n=7代入即可求得答案．
【解答】解：七边形的内角和是：180°×（7﹣2）=900°．
故答案为：900°．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式：n边形的内角和为180°（n﹣2）实际此题的关键．21教育名师原创作品

14．化简+的结果是　a　．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣===a，
故答案为：a
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15．若x=5是关于x的不等式2x+5＞a的一个解，但x=4不是它的解，则a的取值范围是　13≤a＜15　．
【考点】不等式的解集．
【专题】计算题；一元一次不等式(组)及应用．
【分析】表示出不等式的解集，由x=5是一个解，x=4不是它的解，确定出a的范围即可．
【解答】解：不等式2x+5＞a，
解得：x＞，
由x=5是不等式的一个解，但x=4不是它的解，
得到4≤＜5，
解得：13≤a＜15，
则a的取值范围是13≤a＜15，
故答案为：13≤a＜15
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解本题的关键．

16．如图所示，长方形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到长方形CEFG，连接DG交EF于H连接AF交DG于点M，若AB=4，BC=1，则AM=　　．www.21-cn-

【考点】旋转的性质．
【分析】连结AC、CF．先根据旋转的性质得出△ACF是等腰直角三角形．在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC==，在Rt△CAF中，由勾股定理得出AF==．再证明△FHG是等腰直角三角形，得到FH=AD，证明△ADM≌△FHM，得出AM=FM=AF=．
【解答】解：如图，连结AC、CF．
∵长方形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到长方形CEFG，
∴DC=GC，AC=FC，∠ACF=90°，
∴△ACF是等腰直角三角形．
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=1，
∴AC==，
∴FC=AC=．
在Rt△CAF中，由勾股定理得，
AF==．
∵DC=GC，∠DCG=90°，
∴∠DGC=45°，
∴∠FGH=90°﹣∠DGC=45°，
∴△FHG是等腰直角三角形，
∴FH=FG，
∵FG=AD，
∴FH=AD．
在△ADM与△FHM中，
，
∴△ADM≌△FHM，
∴AM=FM，
∵AM+FM=AF=，
∴AM=．
故答案为．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了矩形的性质，勾股定理的运用，正确作出辅助线，利用数形结合是解题的关键．

三、解答题（共7小题，满分52分）
17．分解因式：
（1）3x2﹣12xy+12y2；
（2）（x﹣y）2+16（y﹣x）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】（1）原式提取3，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式即可．
【解答】解：（1）原式=3（x2﹣4xy+4y2）=3（x﹣2y）2；
（2）原式=（x﹣y）[（x﹣y）﹣16]=（x﹣y）（x﹣y﹣16）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

18．先化简，再求值：（﹣）•（a+3），其中a=3+2．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算乘法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=[﹣]•（a+3）
=•（a+3）
=，
当a=3+2时，原式=．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．

19．如图所示，点P的坐标为（4，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．
（1）写出点Q的坐标是　（﹣3，4）　；
（2）若把点Q向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后，得到的点Q′恰好落在第三象限，求m的取值范围．

【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移．
【专题】数形结合．
【分析】（1）利用所画的图形和旋转的性质可写出Q点坐标；
（2）利用点平移的规律表示出Q′点的坐标，然后根据第三象限点的坐标特征得到m的不等式组，再解不等式即可．
【解答】解：（1）点Q的坐标为（﹣3，4）；
故答案为（﹣3，4）；
（2）把点Q（﹣3，4）向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后，得到的点Q′的坐标为（﹣3+m，4﹣2m），
而Q′在第三象限，
所以，解得2＜m＜3，
即m的范围为2＜m＜3．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．利用第三象限内点的坐标特征解决（2）小题．

20．解方程：．
【考点】解分式方程．
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后进行检验．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣2），得：1﹣x=﹣1﹣2（x﹣2），
解得：x=2．
检验：当x=2时，（x﹣2）=0，
即x=2不是原分式方程的解．
则原方程无解．
【点评】此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．

21．如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．

【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）欲证明△ABE≌△ACD只要证明∠EAB=∠CAD，AB=AC，∠EBA=∠ACD即可．
（2）欲证明四边形EFCD是平行四边形，只要证明EF∥CD，EF=CD即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△BEF都是等边三角形，
∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°，
∵∠EAD=60°，
∴∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD．
（2）由（1）得△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
∵△BEF、△ABC是等边三角形，
∴BE=EF，
∴∠EFB=∠ABC=60°，
∴EF∥CD，
∴BE=EF=CD，
∴EF=CD，且EF∥CD，
∴四边形EFCD是平行四边形．

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活应用平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．21教育网

22．给点燃的蜡烛加上一个特质的外罩后，蜡烛燃烧的时间会更长，为了测量蜡烛在有、无外罩条件下的燃烧时长，某天，小明同时点燃了A、B、C三只同样质地、同样长的蜡烛，他给其中的A、B两只加了外罩，C没加外罩，一段时间后，小明发现自己忘了记录开始时间，于是，他马上请来了小聪，小聪根据现场情况采取了如下的补救措施，在C刚好燃烧完时，他马上拿掉了B的外罩，但没有拿掉A的外罩，结果发现：B在C燃烧完以后12分钟才燃烧完，A在B燃烧完以后8分钟燃烧完（假定蜡烛在“有罩”或“无罩”条件下都是均匀燃烧）设无外罩时，已知蜡烛可以燃烧x分钟，则：
（1）填空：把已知蜡烛的总长度记为单位1，当蜡烛B燃烧完时，它在“有罩”条件下燃烧的长度为　1﹣　；在“无罩”条件下燃烧的长度为　　；（两个空都用含有x的代数式表示）
（2）求无外罩时，已知蜡烛可以燃烧多少分钟；
（3）如果一支点燃的蜡烛至少能够燃烧40分钟，则无罩燃烧至多几分钟后就要给这支蜡烛加上外罩？
【考点】一元一次不等式的应用；列代数式．
【分析】（1）先根据题意表示出“无罩”条件下燃烧的长度，继而可得它在“有罩”条件下燃烧的长度；
（2）假设蜡烛的长度为“1”，设无外罩时，一支蜡烛可以燃烧x分钟，则蜡烛加上外罩可以燃烧x+12+8分钟，根据12分钟无外罩的燃烧时间和（12+8）分钟有外罩的燃烧时间相等列出方程解答即可；
（3）设无罩燃烧a分钟后就要给这支蜡烛加上外罩，根据无罩燃烧时间加上有罩燃烧时间至少能够燃烧40分钟，列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）把已知蜡烛的总长度记为单位1，当蜡烛B燃烧完时，在“无罩”条件下燃烧的长度为，它在“有罩”条件下燃烧的长度为1﹣，
故答案为：1﹣，；

（2）设无外罩时，一支蜡烛可以燃烧x分钟，
由题意得： =，
解得：x=30，
经检验x=30是原分式方程的解，
答：无外罩时，一支蜡烛可以燃烧30分钟．

（3）设无罩燃烧a分钟后就要给这支蜡烛加上外罩，
由题意得： +≥1，
解得：a≤15，
答：无罩燃烧至多15分钟后就要给这支蜡烛加上外罩．
【点评】此题考查分式方程与不等式的实际运用，找出题目蕴含的等量关系和不等关系是解决问题的关键．

23．如图1、2，A、B是y轴上的两点（点A在点B的上边），C、D是x轴上的两点（点C在点D的左边），E、F分别是BC、AD的中点．
（1）如图1，过点C作x轴的垂线交AE的延长线于点P，求证：AB=PC；
（2）如图1，连接EF，若AB=4，CD=2，求EF的长；
（3）如图2，若AB=CD，当线段AB、CD分别在y轴、x轴上滑动时，直线EF与x轴正方向的夹角∠α的大小是否会发生变化？若变化，请你说明理由；若不变，请你求出∠α的大小．

【考点】三角形综合题．
【分析】（1）欲证明AB=PC，只要证明△ABE≌△PCE即可．
（2）如图1中，连接DP，先求出DP，再利用三角形中位线定理即可解决．
（3）结论：∠α的大小不变，∠α=45°．如图2中，过点C作x轴的垂线交AE的延长线于点P，由（1）可知CP=AB=CD，再根据平行线的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵OA⊥OD，PC⊥OD，
∴AB∥PC，
∴∠EAB=∠EPC，
在△ABE和△PCE中，
，
∴△ABE≌△PCE，
∴AE=EP．
（2）如图1中，连接DP，

∵△AEB≌△PEC，
∴AE=EP，
∵CP=AB=4，CD=2，
∴DP==2，
∵E、F分别是AP、AD中点，
∴EF=DP=．
（3）结论：∠α的大小不变，∠α=45°

理由：如图2中，过点C作x轴的垂线交AE的延长线于点P，
由（1）可知，CP=AB=CD，
∴∠CDP=45°，
∵EF∥DP，
∴∠α=∠CDP=45°．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用（1）的证明方法，添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．