浙江省瑞安中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷-Word版含答案.docx

瑞安中学2021学年高二第一学期期中考试
数学试卷
命题人： 戴雪燕、池仁访 审卷人： 郑珏、胡云华
参考公式：
棱柱的体积公式 ，其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式 ，其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高
棱台的体积公式 ，其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积， 表示高
球的表面积公式 球的体积公式 其中表示球的半径
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．在直角坐标系中，直线x -y + 3 = 0的倾斜角是（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
2．两圆与的位置关系是（　　　）
A. 内含 B．相交 C．相切 D．相离
3. 已知不同直线，不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．如图，在正方体中，异面直线与所
成的角为（ ）
A． B． C． D． （第4题）
5．一个圆锥的表面积为，它的侧面开放图是圆心角为的扇形，则它的高为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．点P在直线l：上运动，A(4,1)，，则的最小
值是（ ）
A． B． C．3 D．4
7．如图，，，M、N分别是BC、AB
的中点，将沿直线MN折起，使二面角
的大小为，则与平面ABC所成
角的正切值是（ ）
A. B. C. D. （第7题）
8．已知边长为1的正方形 与所在的平面相互垂直,点 分别是线
段、上的动点（包括端点），，设线段
的中点的轨迹为，则的长度为（ ）
A. B. C. D.

（第8题）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9. 在空间直角坐标系 中，点A（1，2，2），则
＝　　　，点A到坐标平面的距离是　　　　．
10．已知直线l1：与l2：
相交于点P，若l1⊥l2， 则a= ，此时点P的坐标
为 ．
11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个
面中，直角三角形的个数是 个，它的表面
积是 ．
12．在长方体中，， (第11题)
，点在棱上移动，则直线与
所成角的大小是　　　，若，则
＝　　　　．
13．已知圆，当变化时，圆上的
点与原点的最短距离是 ．

14. 在正三棱柱中，各棱长均相等，的
交点为，则直线与平面所成角的大小是______．
15．已知点，圆:，过点的直线与圆
交于两点， 线段的中点为（不同于P）， （第14题）
若，则的方程是 ．

（第15题）
三、解答题（本大题共5小题，共74分）
16.（本小题满分14分）
C1
A
B
A1
B1
D1
C
D
M
N
如图，已知正方体的棱长为3，，分别是棱，上
的点，且．
（Ⅰ）证明：，，，四点共面；
（Ⅱ）求几何体 的体积．

17．（本小题满分15分）
设直线的方程为．
（Ⅰ）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
（Ⅱ）若与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求的值．

18．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面
，，分别为，的中点，， ，

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面平面

19．（本小题满分15分）
如图所示，正方形中， 分别是的中点, 将
沿折起,使 .
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

20．（本小题满分15分）
如图，已知圆的圆心在轴的正半轴上，且与 轴相切，圆与直线
相交于两点．当时, ．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）当取任意实数时,问：在 轴上是否存
在定点 ，使得始终被轴平分？若
存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

附加题（本小题满分15分，试验班同学做)
已知椭圆的离心率为，且它的一个焦点的坐标为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过焦点的直线与椭圆相交于A,B两点，是椭圆上不同于A,B的动点，
试求的面积的最大值．

瑞安中学2021学年高二第一学期期中考试
数学试卷评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） ABDC BCDA
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
9. 3，1 10. 1, 11. 2， 12. ，1 13.1
C1
A
B
A1
B1
D1
C
D
M
N
14. 15.
三、解答题（本大题共5小题，共74分）
16.解：（Ⅰ）证明：
又
且
连接，则四边形是平行四边形
所以 3分
在△中，，
所以 ， 所以 …………6分
所以，所以，，，四点共面． …………7分
（Ⅱ）由于平面平面，
又，，，四点共面．　所以平面平面
延长与相交于点，由于
所以，即，解得，同理可得，所以点与点重合
所以，，三线相交于一点，
所以几何体是一个三棱台 ………… 10分
所以 ………… 14分
17． 解（Ⅰ）由题意知，，即．…………1分
当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时，直线的方程为；…………3分
当直线不过原点时，即时，由截距相等，得，即，
直线的方程为，
综上所述，所求直线的方程为或．………7分
（Ⅱ）由题意知，，，
且在x轴，y轴上的截距分别为 …………9分
由题意知，， 即…………11分
当时，解得…………13分
当时，解得，综上所述或…………15分

18．证明： （Ⅰ）连结，由于底面是正方形，所以是中点．
在△中，又是中点， 所以∥．………… 4分
又由于平面，平面，
所以∥平面． ………… 7分
（Ⅱ）在△中，由于，，由余弦定理得：
所以． ………… 10分
由于面底面，
且面面，
又平面
所以面．………… 13分
由于面
所以平面平面．………… 15分

19．（Ⅰ）证明：设正方体的棱长为2，
在中，
所以 ………… 2分

面 ∥面
所以在中，得 ………… 5分
在中，又

又
面 ………… 7分
（Ⅱ）取的中点H，则，由（Ⅰ）知，面，
所以面面，所以面，作，垂足为O，连接，由三垂线定理知，，
所以就是所求二面角的平面角. ………… 11分
在中，，，
所以，所以
所以二面角的余弦值为.………… 15分
20． 解（Ⅰ）设圆心C(0,b)，>0，则半径r=b， ………… 2分
则圆心C(0,b)到 的距离
………… 5分
得或（舍）
所以圆的方程为………… 7分
（Ⅱ）假设存在点，设
联立方程组
得
则 ………… 10分
由
即 ………… 12分

对取任意实数时都成立，所以即
故存在定点，使得始终被轴平分. ………… 15分

附加题（本小题满分15分，试验班同学做)
解:(Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则．又由，可解得，
所以，所以，椭圆的标准方程为． ------6分
（Ⅱ）设过焦点的直线为．
①若的斜率不存在，则，即，
明显当在短轴顶点或时，的面积最大，
此时，的最大面积为. ------8分
②若的斜率存在，不妨设为，则的方程为．
设．
联立方程：消去整理得：，
所以则．----- 10分
由于，当直线与平行且与椭圆相切时，此时切点到直线的距离最大，
设切线，
联立消去整理得：，
由，解得：．
又点到直线的距离，
所以， ----12分
所以.
将代入得．
令，设函数，则，
由于当时，，当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数，所以．
故时，面积最大值是．-----14分 明显，
所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为．-----15分