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台州中学2021学年第一学期期中试题
高二 数学
命题人：戴小挺 审题人：宋如谋
第I卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（ ）
A. C. D.
2．（ ）
A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
3．点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图所示，则该几何体的主视图、左视图、俯视图依次为（ ）
A．①③④ B．②④③ C．①②③ D．②③④
4．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α=（ ）
(A) (B)
(C) (D)
5. 设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则； B．若；
C．若 D．若
6．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使得点（2,0）与点（-2,4）重合。若点（7,3）与点（m,n）重合，则m+n=( )
A．4 -4 C. 10 D. -10
7．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝．将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中 ( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：（本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分．）
9.
__________， ．
10. 过原点且倾斜角为的直线与圆相交，则圆的半径为___________。直线被圆截得的弦长为______________
为坐标原点，则点的轨迹方程为______________，
|OM|的最大值为 ．
12．如图，在四棱锥中，平面，，
，，则异面直线与所
成角的大小为 ；直线与平面所成角的正弦值
为 ．
13．如图，二面角的大小是60°，线段.，
与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是 .
，则实数的取值范围是 ．
15.正四周体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四周体上的全部点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本题满分15分）等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线x+2y-4=0上，顶点A的坐标是(1，-1)，（1）求顶点B的坐标， （2）求AB所在直线方程.
17. （本题满分15分）
如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P为SB的中点，(1）求圆锥SO的表面积； （2）求异面直线SC与PD所成角的余弦值。
18. （本题满分15分） 已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆经过原点O，且分别交x轴、y轴于点A、B.点A、B与点O不重合．
(1) 求证：△OAB的面积为定值；
(2) 设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，且OM＝ON，求圆C的方程．
19.（本小题满分15分）如图，已知正方形和矩形所在的平面相互垂直，，为线段的中点。
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的大小．
20. （本题满分14分）棱锥S—ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,
AB＝BC＝2,CD＝SD＝1.（1）证明：SD⊥平面SAB
2）求AB与平面SBC所成角的余弦值.
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