【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：G4空间中的平行关系.docx

G4 空间中的平行关系

【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】18、（本题满分12分）如图，三角形和梯形所在的平面相互垂直， ，，是线段上一点，.

（Ⅰ）当时，求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点满足平面？并说明理由.
【学问点】线面平行的判定；线面垂直的条件；二面角求法. G4 G5 G11
【答案】【解析】（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在点满足平面，理由：见解析.解析：（Ⅰ）取中点，连接，…1分
D

又，所以.
由于，所以,
四边形是平行四边形，…………2分
所以
由于平面，平面
所以平面.…………4分
（Ⅱ）由于平面平面，平面平面=，
且，所以平面，所以，…………5分
由于，所以平面.如图，

以为原点，建立空间直角坐标系.
则，………6分
是平面的一个法向量.
设平面的法向量，则
，即
令，则，所以,
所以，……………8分
故二面角的正弦值为。……………9分.
（Ⅲ）由于，所以与不垂直,………11分
所以不存在点满足平面.…………12分
【思路点拨】（Ⅰ）取中点，证明四边形是平行四边形即可；（Ⅱ）以为原点，直线AB为x轴，直线AF为z轴，建立空间直角坐标系.通过求平面ABF的法向量与平面BEF的法向量夹角余弦值，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若存在点满足平面，则AE,由推断不存在点满足平面.

【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】18、（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为菱形，是的中点
（1）若，求证：平面平面；
（2）若平面平面，且，
在线段上是否存在点，使二面角的大小为，
若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由。

【学问点】空间角与空间中的位置关系.G4,G5,G11
【答案】【解析】(1)略(2) 略 解析：（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD⊂平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图
则Q（0，0，0），），B（0，
设0＜λ＜1，则平面CBQ的一个法向量
=（0，0，1），设平面MBQ的法向量为=（x，y，z），
由，∵二面角M-BQ-C的大小为60°，
解得λ=，
∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意
【思路点拨】1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．

【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】3、已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【学问点】空间中的平行与垂直关系.G4,G5
【答案】【解析】D解析：错误的缘由为n也可能属于，所以A不正确，错误的缘由为n也可能与m都在平面内，错误的缘由为可能是相交平面，所以C不正确，只有D是正确选项.
【思路点拨】由平行与垂直的判定定理与性质定理可得到正确结果.

【数学理卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】19 ．（本小题满分12分）
如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．
（1）求证：⊥
（2）若，，为的中点，求二面角的余弦值.

【学问点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．G4 G5 G11
【答案】【解析】(1) 见解析； (2)
解析：(1)证明：三棱柱 为直三棱柱，
平面，又平面，
-平面，且平面，
. 又 平面,平面,，
平面， 又平面，
⊥ …………………………5分
(2)由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系
平面，其垂足落在直线上,

.
在中，，AB=2，,
在直三棱柱 中，. 在中，
,
则(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,
（0，2，2）
设平面的一个法向量
则 即 可得
设平面的一个法向量
则 即
可得
平面与平面的夹角的余弦值是 ………12分
（或在中，，AB=2,
则BD=1 可得D(
平面与平面的夹角的余弦值是 ………12分）
【思路点拨】(1) 由已知得平面，，．由此能证明． (2) 由（1）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．

【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】19. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，,,
平面,为的中点，.
(I ) 求证：∥平面;

( II ) 求四周体的体积.
【学问点】直线与平面平行；几何体的体积. G4,G8
【答案】【解析】(I)略(II) 解析：1)法一： 取AD得中点M，连接EM,CM.则EM//PA

由于
所以， （2分）
在中，
所以，
而,所以,MC//AB. （3分）
由于
所以， （4分）
又由于
所以，
由于 （6分）
法二： 延长DC,AB,交于N点，连接PN.

由于
所以，C为ND的中点. （3分）
由于E为PD的中点，所以，EC//PN
由于
（6分）
2)法一：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= （7分）
由于，，所以， （8分）
又由于，所以， （10分）
由于E是PD的中点，所以点E平面PAC的距离，
所以，四周体PACE的体积 （12分）
【思路点拨】由题意可直接证明直线与平面平行，再依据几何体的体积公式求出四周体的体积.

【数学文卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】3．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【学问点】空间中的平行关系垂直关系G4 G5
【答案解析】C 对于A ，则m与的关系有三种m平行，或相交A错，对于B, ，，则还有相交的状况，B错误，对于D，，还有可能平行，故选C.
【思路点拨】依据线面关系面面关系排解法求结果。

【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】19. （本小题12分）如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
（1）求证：∥平面;
（2）求证：;
（3）求点到平面的距离.

【学问点】线面平行 线面垂直 点到平面的距离G4 G5 G11
【答案】【解析】（1）略；（2）略；（3） 解析：（1）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且． 由已知∥，，
所以∥，且． 所以四边形为平行四边形．
所以∥．又由于平面，且平面，所以∥平面．
（2）在正方形中，．又由于平面平面，且平面平面，所以平面． 所以．
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，所以．所以．所以平面．
（3）：平面,所以，所以
又，设点到平面的距离为则，所以，所以点到平面的距离等于.
【思路点拨】证明线面平行及线面垂直主要利用其判定定理进行证明，求点到平面的距离，若直接求距离不便利时，可利用三棱锥的等体积法求距离.

【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】6．已知两条不重合的直线和两个不重合的平面有下列命题：
①若，则； ②若则
③若是两条异面直线，则
④若则. 其中正确命题的个数是（　 　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【学问点】空间平行与垂直关系G4 G5
【答案】【解析】C 解析：若，则直线n与平面α平行或在平面α内，所以①错误；若，则n⊥α,垂直于同始终线的两面平行，所以，则②正确；若是两条异面直线，过直线m上任意一点作直线k∥n，则m,k确定一个平面γ，若，则α∥γ，β∥γ，所以α∥β，则③正确；由两面垂直的判定定理可知④正确，综上可知选C
【思路点拨】推断线线、线面、面面位置关系问题，生疏它们的判定定理与性质定理是解题的关系，能直接用定理推断或推导的可直接推断，无法推导的可考虑反例法排解.