线性方程组的迭代法课件省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第五章第五章 解线性方程组迭代法解线性方程组迭代法5.1 引言5.2 基本迭代法5.3 迭代法收敛性5.4 分块迭代法第1页5.1 引言引言 本章介绍求解线性方程组 迭代求解方法，其中 ，。假设 非奇异，则方程组有唯一解 。本章介绍迭代法一些基本理论及Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，超松弛迭代法等惯用迭代法。n迭代法例例：用迭代法求解线性方程组：记为：，其中：第2页5.1 引言引言已知其准确解为：。现将方程组改写成以下等价形式：n迭代法例例：用迭代法求解线性方程组：记为：，其中：第3页5.1 引言引言已知其准确解为：。现将方程组改写成以下等价形式：或写为 ，其中：第4页5.1 引言引言由此建立迭代格式（公式）：给定初始向量：，则可得：或写为 ，其中：第5页5.1 引言引言由此建立迭代格式（公式）：给定初始向量：，则可得：当 时，有：，得近似解：，由此能够看出由迭代法产生向量序列 逐步迫近方程组准确解 。k1234x10.7780.9630.9930.999x20.8000.9640.9930.999x30.8670.9720.9950.999第6页5.1 引言引言例2：考虑方程组：，取初值 ，则有：可见不收敛。所以，我们得到：对于任何一个方程组 ，由迭代法产生向量序列 不一定收敛。当 时，有：，得近似解：，由此能够看出由迭代法产生向量序列 逐步迫近方程组准确解 。k1234x10.7780.9630.9930.999x20.8000.9640.9930.999x30.8670.9720.9950.999第7页5.1 引言引言例2：考虑方程组：，取初值 ，则有：可见不收敛。所以，我们得到：对于任何一个方程组 ，由迭代法产生向量序列 不一定收敛。为做深入研究，我们假设方程组 有唯一解 ，则 ，又设 为任意初始向量，按下列公式结构向量序列：其中表示迭代次数，我们给出以下定义：定义1：上述求解方法称为迭代法，假如 存在，则称迭代法收敛，不然称为迭代法发散。第8页5.1 引言引言为讨论收敛性，引进误差向量 ，从而可得：，递推得到：要研究 收敛性，就要研究 在满足什么条件时有 ，实际就是为做深入研究，我们假设方程组 有唯一解 ，则 ，又设 为任意初始向量，按下列公式结构向量序列：其中表示迭代次数，我们给出以下定义：定义1：上述求解方法称为迭代法，假如 存在，则称迭代法收敛，不然称为迭代法发散。第9页5.1 引言引言为讨论收敛性，引进误差向量 ，从而可得：，递推得到：要研究 收敛性，就要研究 在满足什么条件时有 ，实际就是第10页5.2 基本迭代法基本迭代法 设有方程组 ，其中 为非奇异矩阵下面研究怎样建立解方程组 各种迭代法。将 分裂为 ，其中 为可选择非奇异矩阵，且使 轻易求解，普通选择为 某种近似称 为分裂矩阵。于是，求解 转化为求解 ，即求解：这么，可结构迭代法：其中：称为迭代法迭代矩阵，选取 阵，就得到解 各种迭代法。第11页5.2 基本迭代法基本迭代法 设 ，并将 写为三部分：这么，可结构迭代法：其中：称为迭代法迭代矩阵，选取 阵，就得到解 各种迭代法。第12页5.2 基本迭代法基本迭代法 设 ，并将 写为三部分：nJacobi迭代法 由 ，选取 为 对角元素部分，即选取 ，可得Jacobi迭代公式：其中 称 为解 Jacobi迭代法迭代矩阵。第13页5.2 基本迭代法基本迭代法nJacobi迭代法分量表示 记由Jacobi迭代公式可得：，写成份量形式即为：于是，解 Jacobi迭代法计算公式为：nJacobi迭代法 由 ，选取 为 对角元素部分，即选取 ，可得Jacobi迭代公式：其中 称 为解 Jacobi迭代法迭代矩阵。第14页5.2 基本迭代法基本迭代法nJacobi迭代法分量表示 记由Jacobi迭代公式可得：，写成份量形式即为：于是，解 Jacobi迭代法计算公式为：由此可知，Jacobi迭代法计算公式简单，每次迭代只需计算一次矩阵和向量乘法且计算过程中 不变。第15页5.2 基本迭代法基本迭代法nGauss-Seidel迭代法 我们再来分析前面例子，其实在求 时，我们已经求得了 ，然而我们此时并没有用到 来计算 ，这使我们想到，应该尽可能利用已经计算出来得新值，所以，可将上面迭代公式改为：由此可知，Jacobi迭代法计算公式简单，每次迭代只需计算一次矩阵和向量乘法且计算过程中 不变。第16页5.2 基本迭代法基本迭代法nGauss-Seidel迭代法 我们再来分析前面例子，其实在求 时，我们已经求得了 ，然而我们此时并没有用到 来计算 ，这使我们想到，应该尽可能利用已经计算出来得新值，所以，可将上面迭代公式改为：这就是所谓Gauss-Seidel迭代法，用分裂矩阵语言，这时选取分裂矩阵 为 下三角部分，即选取 ，于是由得到Gauss-Seidel迭代法：第17页5.2 基本迭代法基本迭代法其中 称 为解方程组 Gauss-Seidel迭代矩阵。至于Gauss-Seidel迭代法分量表示，我们可由矩阵这就是所谓Gauss-Seidel迭代法，用分裂矩阵语言，这时选取分裂矩阵 为 下三角部分，即选取 ，于是由得到Gauss-Seidel迭代法：第18页5.2 基本迭代法基本迭代法其中 称 为解方程组 Gauss-Seidel迭代矩阵。至于Gauss-Seidel迭代法分量表示，我们可由矩阵表示得到：即：写成份量形式得到：第19页5.2 基本迭代法基本迭代法nJacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法异同：Jacobi迭代法公式简单，每次只需做矩阵和向量一次乘法，尤其适合于并行计算；不足之处是需要存放 和 两个存放空间。表示得到：即：写成份量形式得到：第20页5.2 基本迭代法基本迭代法nJacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法异同：Jacobi迭代法公式简单，每次只需做矩阵和向量一次乘法，尤其适合于并行计算；不足之处是需要存放 和 两个存放空间。Gauss-Seidel方法只需要一个向量存放空间，一旦计算出 马上存入 位置，可节约一套存放单元这是对Jacobi方法改进，在一些情况下，它能起到加速收敛作用。但它是一个经典串行算法，每一步迭代中，必须依次计算解各个分量。第21页5.2 基本迭代法基本迭代法n解大型稀疏线性方程组逐次超松弛法 选取分裂矩阵 为带参数下三角矩阵其中 为可选择松弛因子，于是结构迭代法如下：其中：这就是解 逐次超松弛迭代法(SOR方法)。其分量形式为：第22页5.2 基本迭代法基本迭代法n关于SOR方法几点注释：(1)显然，当 时，SOR方法就是Gauss-Seidel方法。(2)SOR方法每一次迭代主要运算量是计算一次矩阵 与向量乘法。(3)时称为超松弛方法，时称为低松弛方法。(4)计算机实现时可用 控制 迭代终止，或用 控制终止。(5)SOR方法能够看成是Gauss-Seidel方法一个修正。第23页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性 例：分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法计算以下方程组，均取一样初值 ，观察其计算结果。解：对方程组1，其准确解 Jacobi迭代得：Gauss-Seidel迭代得：对方程组2，其准确解 Jacobi迭代得：125次迭代可得精度为0.01解；Gauss-Seidel迭代得：9次迭代可得精度为0.01解；对方程组3，其准确解 Jacobi迭代得：Gauss-Seidel迭代得：第24页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性 设 ，其中 为非奇异矩阵，记 为方程准确解，等价方程组为：，于是：设有解方程组 一阶定常迭代法：我们希望研究问题是：迭代矩阵满足什么条件时，迭代法产生迭代序列 收敛到 。引进误差向量其递推公式为：由本章引言可知：我们要研究问题就是 满足什么条件时，有第25页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性 定义2：设有矩阵序列 及 ，假如 个数列极限存在且有则称 收敛于 ，记为 。例：设有矩阵序列且设 ，考查其极限。解：显然，当 时，有 矩阵序列极限概念能够用矩阵算子范数来描述。定理1：，其中 为矩阵任意一个算子范数。第26页 5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性 证实：显然有再利用矩阵范数等价性，可证定理对其它算子范数亦对。定理2：对任何向量 都有 定理3：设 ，则 充分必要条件是矩阵 谱半径 。证实：由矩阵 若当标准型，存在非奇异矩阵 使 其中若当块第27页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性且 ，显然有：，其中：于是 下面考查 情况，引进记号：显然有：，因为所以：第28页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性利用极限 得到所以 充要条件是 ，即定理4：（迭代法基本定理）设有方程组 ，对于任意初始向量 ，一阶定常迭代法 收敛充要条件是迭代矩阵 谱半径 。第29页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性证：特征值 ，故 特征值 从而有：，所以 有唯一解 。定义 为误差向量，则有：故对任意 和 ，有：即：设对任意 和 ，都有：且于是有 ，即 ，所以对任意 有 故 ，从而由定理3，有 。定理4是一阶定常迭代法基本理论。第30页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性 推论：设 ，其中 为非奇异矩阵且 非奇异，则：(1)解方程组Jacobi迭代法收敛充要条件是其中 (2)解方程组Gauss-Seidel迭代法收敛充要条件是 ，其中 (3)解方程组SOR迭代法收敛充要条件是其中第31页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性 迭代法基本定理在理论上有主要意义。在详细使用上，因为 ，所以，我们利用范数能够建立判别迭代法收敛充分条件。定理5：（迭代法收敛充分条件）设方程组 一阶定常迭代法为假如有 某种算子范数 ，则 (1)迭代法收敛，即对任取 有 且 (2)(3)(4)第32页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性证实：(1)由定理4，结论(1)是显然；(2)由 及 得：(a)(b)重复利用(b)即得(2)；(3)注意到即得：(4)重复利用(a)即得(4)。第33页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性n关于解一些特殊方程组迭代法收敛性 定义3：(对角占优阵)设(1)假如 元素满足称 为严格对角占优阵(2)假如 元素满足且上式最少有一个不等式严格成立，称 为弱对角占优阵。第34页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性 定义4：(可约与不可约矩阵)设 ，假如存在置换阵 使其中 为 阶方阵，为 阶方阵 ，则称 为可约矩阵，不然，假如不存在这么置换阵 使得上式成立，则称 为不可约矩阵。第35页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性 定理6：(对角占优定理)假如 为严格对角占优矩阵或 为不可约弱对角占优矩阵，则 为非奇异矩阵。证实：我们只就严格对角占优证实定理。采取反证法。，则 有非零解，记为 则 ，由齐次方程组第 个方程得到 ，即与对角占优假设矛盾，故 。第36页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性 定理7：设 ，假如：(1)为严格对角占优，则解 Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法均收敛。(2)为弱对角占优，且 为不可约矩阵，则解 Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法均收敛。证实：这里我们仅证(1)Gauss-Seidel迭代法。由假设可知：，Gauss-Seidel迭代矩阵为 ，所以因为 于是 特征值为 根，记第37页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性下面证实：当 时，即 特征值均满足 ，由基本定理，则有Gauss-Seidel迭代法收敛。实际上，当 时，由 A 为严格对角占优，有这说明，当 时，矩阵 为严格对角占优，再由对角占优定理有 。定理8：(SOR方法收敛必要条件)设解方程组SOR迭代法收敛，则 。证实：由SOR迭代法收敛，则可得 ，设 特征值为 ，则 从而第38页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性n其次n从而 ，即 。n定理9：设 ，如果：n (1)为对称正定矩阵，n (2)n则解 SOR迭代法收敛。n证明：我们只需在上述假设下，证明 即可。n 事实上，设 为对应于 特征向量，即n亦即：n 为了找到 表达式，考虑数量积第39页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性则显然记：因为 ，所以 ，故所以从而第40页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性 当 时，有即 任一特征值满足 ，故SOR方法收敛(注意当 时，能够证实 )定理10：设 ，假如：(1)为严格对角占优矩阵(或不可约弱对角占优矩阵)(2)则解 SOR迭代法收敛。（证实略）第41页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性n迭代法收敛速度 我们已经知道，假如 且 越小时，迭代法收敛越快，现考虑方程组及一阶定常迭代法且设迭代法收敛，记 ，则 。由基本定理有 ，且误差向量 满足 ，故 现设 为对称矩阵，则有第42页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性下面确定欲使初始误差缩小 所需迭代次数，即使取对数，得到所需最少迭代次数为：故所需迭代次数与 成反比，越小，越大，从而所需迭代次数越少，收敛越快 定义5：称 为迭代法渐进收敛速度，简称收敛速度。对于SOR迭代法来说，希望经过 选择使得收敛速度较快，但详细计算时，并非都可实现。第43页5.3 迭代法收敛性迭代法收敛性nSOR迭代法算法 设 ，其中 为对称正定矩阵或为严格对角占优或为不可约弱对角占优，本算法用SOR迭代法求解 ，数组 存放 及 ，用 控制迭代终止，用 表示最大迭代次数。1.2.3.4.5.对于(1)(2)假如 ，则 (3)6.输出7.假如 ，则输出 停顿；8.假如 ，则转3；9.输出 及相关信息。第44页5.4 分块迭代法分块迭代法 前面讨论迭代法，从 计算过程，是逐个计算 分量 ，所以这种方法又被称为点迭代法。现在介绍分块迭代法，就是一组未知量同时被改进。设 ，其中 为大型稀疏矩阵且将 分块为三个部分 ，其中第45页5.4 分块迭代法分块迭代法其中 为 非奇异矩阵，对 及 一样分块其中，在上述定义基础上，我们来讨论分块迭代法。(1)块Jacobi迭代法(BJ)选取分裂矩阵 为 对角块部分，即选取第46页5.4 分块迭代法分块迭代法于是，得到块Jacobi迭代法其中迭代矩阵 ，或由分块矩阵乘法，得到块Jacobi迭代法详细形式：其中：这说明，块Jacobi迭代法每迭代一步需要求解 个低阶方程组第47页5.4 分块迭代法分块迭代法(2)块SOR迭代法(BSOR)选取分裂矩阵 为带松弛因子 块下三角部分，即：得到块SOR迭代法其中迭代矩阵 由分块矩阵乘法得到块SOR迭代法详细形式：于是，可经过解一组低阶方程组来代替原来解。第48页5.4 分块迭代法分块迭代法 定理：设 ，其中(1)假如 为对称正定矩阵；(2)则解 块SOR迭代法收敛。第49页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 为研究线性方程组近似解误差预计和迭代法收敛性，我们需要对 中向量(或 中矩阵)引进一种度量大小概念，这就是所谓范数。定义1 设 (或 )将实数 或复数称为向量 数量积，将非负实数或 称为向量 欧氏范数。第50页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数定理：设 (或 )，则：1.，当且仅当 时成立；2.，为实数(或 ，为复数)3.，(或 )4.5.Cauchy-Schwarz不等式：6.三角不等式：这仅是我们度量向量大小一个方法，现在我们来推广这个概念。第51页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定义2.(向量范数)假如向量 (或 )某个实值函数 满足条件：(1)(当且仅当 )（正定）(2)(或 )(3)则称 是 (或 )上一个向量范数(或模)，由(3)可推出不等式n惯用范数有：(1)(2)(3)(4)例：向量 各种范数：第52页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定义3.设 为 中一个向量序列，记 ，假如 ，则称 收敛于向量 ，记为即向量序列收敛就是分量序列都收敛。定理：(范数连续性)设非负函数 为 上可推出不等式n惯用范数有：(1)(2)(3)(4)例：向量 各种范数：第53页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定义3.设 为 中一个向量序列，记 ，假如 ，则称 收敛于向量 ，记为即向量序列收敛就是分量序列都收敛。定理：(范数连续性)设非负函数 为 上任一向量范数，则 是分量 连续函数。证实：设 ，其中 第 个分量为1，其余分量为0。第54页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定理：设 为 上任意两种范数，则存在常数 ，使得对于一切 ，有这就是所谓向量范数等价性。(证实略)定理：其中 为向量任意一个范数。(证实略)任一向量范数，则 是分量 连续函数。证实：设 ，其中 第 个分量为1，其余分量为0。第55页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定理：设 为 上任意两种范数，则存在常数 ，使得对于一切 ，有这就是所谓向量范数等价性。(证实略)定理：其中 为向量任意一个范数。(证实略)n矩阵范数 现在把向量范数概念推广到矩阵上去，用 表示 矩阵集合，则称为 Frobenius范数。显然 满足正定性，齐次性及三角不等式。下面给出矩阵范数普通定义。第56页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定义：假如矩阵 某个非负实值函数 满足条件：(1)()(2)(3)(4)则称 是 上一个矩阵范数。现在把向量范数概念推广到矩阵上去，用 表示 矩阵集合，则称为 Frobenius范数。显然 满足正定性，齐次性及三角不等式。下面给出矩阵范数普通定义。第57页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定义：假如矩阵 某个非负实值函数 满足条件：(1)()(2)(3)(4)则称 是 上一个矩阵范数。上面定义 就是 上一个矩阵范数。因为在大多数与预计相关问题中，矩阵和向量会同时参加讨论，所以希望引进一个矩阵范数，它和向量范数相联络且和向量范数相容，即 对任何向量 及 都成立，为此我们再引进一个矩阵范数。第58页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定义(算子范数)设 ，给出一个向量范数 (如 )，对应地定义一个矩阵非负函数能够验证 满足范数定义，所以 是 上矩阵一个范数，称为 算子范数。上面定义 就是 上一个矩阵范数。因为在大多数与预计相关问题中，矩阵和向量会同时参加讨论，所以希望引进一个矩阵范数，它和向量范数相联络且和向量范数相容，即 对任何向量 及 都成立，为此我们再引进一个矩阵范数。第59页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定义(算子范数)设 ，给出一个向量范数 (如 )，对应地定义一个矩阵非负函数能够验证 满足范数定义，所以 是 上矩阵一个范数，称为 算子范数。定理：设 是 上一个向量范数，则 是 上矩阵范数，且满足相容条件：。证实：由定义，是显然，现只需验证范数定义中条件4。由 ，得到 当 时，有：第60页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数故：显然这种矩阵范数 依赖于向量范数 具体含义，也就是说，当给出一个详细范数 时，相 定理：设 是 上一个向量范数，则 是 上矩阵范数，且满足相容条件：。证实：由定义，是显然，现只需验证范数定义中条件4。由 ，得到 当 时，有：第61页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数故：显然这种矩阵范数 依赖于向量范数 具体含义，也就是说，当给出一个详细范数 时，相应地就得到了一个矩阵范数 。定理：设 ，则 1.称为 行范数。2.称为 列范数。3.称为 2范数。第62页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数证实：1.设 ，对任一 ，有故应地就得到了一个矩阵范数 。定理：设 ，则 1.称为 行范数。2.称为 列范数。3.称为 2范数。第63页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数证实：1.设 ，对任一 ，有故有若取 ，其中则 ，且所以第64页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 2.设 ，对任一 ，有故有若取 ，其中则 ，且所以第65页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 2.设 ，对任一 ，有故又若取 ，则 ，且所以第66页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 3.由定义 ，且因为 对称，故 特征值 ，将其排列为：因为存在对应规范正交向量组 ，现设又若取 ，则 ，且所以第67页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 3.由定义 ，且因为 对称，故 特征值 ，将其排列为：因为存在对应规范正交向量组 ，现设 ，则 可表示为 ，且有于是尤其地，取 ，则所以：第68页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数例：设矩阵 ，计算 各种算子范数。解：，由求得：故 。，则 可表示为 ，且有于是尤其地，取 ，则所以：第69页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数例：设矩阵 ，计算 各种算子范数。解：，由求得：故 。定理：上任意两种矩阵范数是等价，即若 ，为 上任意两种范数，则存在常数 ，使得：如：第70页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定义：设 为其特征值，则称 为矩阵 谱半径。方程组性态、条件数 设方程组有准确解：，对矩阵和右端项作微小改变 定理：上任意两种矩阵范数是等价，即若 ，为 上任意两种范数，则存在常数 ，使得：如：第71页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定义：设 为其特征值，则称 为矩阵 谱半径。方程组性态、条件数 设方程组有准确解：，对矩阵和右端项作微小改变其解变为：可见：细微改变使得解面目全非，可谓“差之毫厘，失之千里”。为何？第72页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定义：假如方程组 中，矩阵 和右端项 改变 和 微小，引发解向量 改变 很大，则称 为关于解方程组和矩阵求逆病态矩阵，称相应方程组 为病态方程组。反之，称 为良态矩阵，为良态方程组。n确定矩阵病态标准 为确定矩阵 是否病态，我们需要一个标准，或者说是一个刻划矩阵和方程组“病态”程度标准。其解变为：可见：细微改变使得解面目全非，可谓“差之毫厘，失之千里”。为何？第73页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定义：假如方程组 中，矩阵 和右端项 改变 和 微小，引发解向量 改变 很大，则称 为关于解方程组和矩阵求逆病态矩阵，称相应方程组 为病态方程组。反之，称 为良态矩阵，为良态方程组。n确定矩阵病态标准 为确定矩阵 是否病态，我们需要一个标准，或者说是一个刻划矩阵和方程组“病态”程度标准。先考虑 不变，变，设 ，扰动后方程为：，所以有，取范数，得到 ，因为：，即：，故：由此可见：是相对误差 倍增因子。第74页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 刻划了矩阵 病态程度和 对 扰动敏感程度。对 扰动可作对应讨论。结果一样可得出是相对误差 倍增因子结论，所以我们定义：定义：设 存在，则称数 为矩阵 条件数，其中 是矩阵算子范数。先考虑 不变，变，设 ，扰动后方程为：，所以有，取范数，得到 ，因为：，即：，故：由此可见：是相对误差 倍增因子。第75页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 刻划了矩阵 病态程度和 对 扰动敏感程度。对 扰动可作对应讨论。结果一样可得出是相对误差 倍增因子结论，所以我们定义：定义：设 存在，则称数 为矩阵 条件数，其中 是矩阵算子范数。惯用条件数为：分别称为矩阵 条件数，条件数，条件数。当 时，当 对称正定时，第76页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数n条件数相关性质 设 存在，则由条件数定义，有以下性质：(1)(2)若 为正交阵，即 ，则 定义：设 存在，则称数 为矩阵 条件数，其中 是矩阵算子范数。惯用条件数为：分别称为矩阵 条件数，条件数，条件数。当 时，当 对称正定时，第77页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数n条件数相关性质 设 存在，则由条件数定义，有以下性质：(1)(2)若 为正交阵，即 ，则证实：(1.1)(1.2)显然（由定义直接可得）(1.3)(2)因为 特征值与 特征值相同，故对应可证：第78页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数由前面分析，我们得到：这说明 越大，越大，可能病态，不过 多大时为病态？没有一个严格界限。我们还是看前面例子：证实：(1.1)(1.2)显然（由定义直接可得）(1.3)(2)因为 特征值与 特征值相同，故对应可证：第79页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数由前面分析，我们得到：这说明 越大，越大，可能病态，不过 多大时为病态？没有一个严格界限。我们还是看前面例子：我们假设 有扰动 ，试计算 ，并说明 对 影响。解：易求得：，则有：说明：百万分之一，引发 百分子六百误差。严重病态第80页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数n处理矩阵病态策略 对于病态方程组，可采取高精度运算，以改进或减轻方程组病态程度。我们也能够作预处理，以改进条件数，即用 左乘 使得 。我们假设 有扰动 ，试计算 ，并说明 对 影响。解：易求得：，则有：说明：百万分之一，引发 百分子六百误差。严重病态第81页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数n处理矩阵病态策略 对于病态方程组，可采取高精度运算，以改进或减轻方程组病态程度。我们也能够作预处理，以改进条件数，即用 左乘 使得 。第82页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数n条件数应用：方程组误差预计 理论上讲，直接法得到准确解，但因为计算机有舍入误差，所以是近似解。定理：设 ，为非奇异矩阵，为非零向量，和 都有扰动。若 扰动 非常小，使则有事前误差预计式证实：扰动后方程组为：将 代入，得：故：即第83页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数假定 足够小，使得 ，则结合 ，则有：证实：扰动后方程组为：将 代入，得：故：即第84页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数假定 足够小，使得 ，则结合 ，则有：证毕。推论1：若 ，则推论2：若 ，则第85页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定理：设 ，则近似解 事后误差估计式：证：先证右边，由 ，得：得：，故有：证毕。推论1：若 ，则推论2：若 ，则第86页5.5 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 定理：设 ，则近似解 事后误差估计式：证：先证右边，由 ，得：得：，故有：再证左边，由 ，得到：又因为：故有：，所以：定理说明：当 时，方程组余量误差是 相对误差很好度量。第87页