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第4讲 随机大事的概率
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2021·襄阳模拟)有一个玩耍，其规章是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．大事“甲向南”与大事“乙向南”是
( )
A．互斥但非对立大事 B．对立大事
C．相互独立大事 D．以上都不对
解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不行能的，故是互斥大事，但不是对立大事，故选A.
答案 A
2．从一箱产品中随机地抽取一件，设大事A＝{抽到一等品}，大事B＝{抽到二等品}，大事C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则大事“抽到的不是一等品”的概率为
( )
A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3
解析 大事“抽到的不是一等品”与大事A是对立大事，由于P(A)＝0.65，所以由对立大事的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
答案 C
3．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的大事是
( )
A．至少有一个红球与都是红球
B．至少有一个红球与都是白球
C．至少有一个红球与至少有一个白球
D．恰有一个红球与恰有二个红球
解析 对于A中的两个大事不互斥，对于B中两个大事互斥且对立，对于C中两个大事不互斥，对于D中的两个大事互斥而不对立．
答案 D
4．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，大事“甲分得红牌”与大事“乙分得红牌”是
( )
A．对立大事
B．不行能大事
C．互斥大事但不是对立大事
D．以上答案都不对
解析 甲分得红牌与乙分得红牌不会同时发生，但可同时不发生，故这两大事互斥，但不对立．
答案 C
5．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是
( )
A. B. C. D.
解析 乙不输包含两种状况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求概率为＋＝.
答案 A
二、填空题
6．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列大事：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．
其中________是必定大事；________是不行能大事；________是随机大事．
答案 ③ ② ①
7．抛掷一粒骰子，观看掷出的点数，设大事A为消灭奇数点，大事B为消灭2点，已知P(A)＝，P(B)＝，则消灭奇数点或2点的概率为________．
解析 由于大事A与大事B是互斥大事，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
答案
8．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
解析 摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.30，口袋内球的个数为21÷0.42＝50，所以黑球的个数为50×0.30＝15.
答案 15
三、解答题
9．某企业生产的乒乓球被下届奥运会指定为乒乓球竞赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：
抽取球数n
50
100
200
500
1 000
2 000
优等品数m
45
92
194
470
954
1 902
优等品频率
(1)计算表中乒乓球优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少(结果保留到小数点后三位)?
解 (1)依据公式f＝，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的四周摇摆，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
10．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
解 法一 (利用互斥大事求概率)
记大事A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，
则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，
P(A4)＝，
依据题意知，大事A1、A2、A3、A4彼此互斥，
由互斥大事的概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
法二 (利用对立大事求概率)
(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立大事为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立大事为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝.
(2)由于A1∪A2∪A3的对立大事为A4，
所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
力量提升题组
(建议用时：35分钟)
11．(2022·大连模拟)某城市2021年的空气质量状况如下表：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为稍微污染，则该城市2021年空气质量达到良或优的概率为
( )
A. B. C. D.
解析 由题意可知2021年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.
答案 A
12．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若大事“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的大事是
( )
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个大事，它是“2张全是移动卡”的对立大事．
答案 A
13.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外爱好小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参与了不止一个小组，具体状况如图所示．
现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种状况，故他属于至少2个小组的概率为
P＝＝.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立大事是“3个小组”．
故他属于不超过2个小组的概率是
P＝1－＝.
答案
14．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估量用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y＝估量用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
解 (1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估量值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估量值为0.42.
(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96.所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估量值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．
15．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估量40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
∴用频率估量相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.
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