2022届数学一轮(文科)浙江专用配套练习-3-6-正弦定理、余弦定理及解三角形.docx

第6讲　正弦定理、余弦定理及解三角形

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2022·北京西城区模拟)在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝，则B＝
(　　)
A. B. C. D.
解析　由于cos A＝，所以sin A＝＝，由正弦定理，得＝，所以sin B＝，又由于b＜a，所以B＜，B＝，故选A.
答案　A
2．(2021·宁波模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为
(　　)
A. B. C．2 D．2
解析　由于S＝×AB×ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝.
答案　B
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为
(　　)
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D.－1
解析　由正弦定理＝及已知条件，得c＝2，
又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝.
从而S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1.
答案　B
4．(2022·金华模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的
(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　依题意，由a＝2bcos C及正弦定理，得sin A＝2sin Bcos C，sin(B＋C)－2sin Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C－2sin Bcos C＝sin(C－B)＝0，C＝B，△ABC是等腰三角形；反过来，由△ABC是等腰三角形不能得知C＝B，a＝2bcos C．因此，“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.
答案　A
5．(2022·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m, 则河流的宽度BC等于
(　　)

A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
解析　如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)，在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，

∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．
答案　C
二、填空题
6．(2022·丽水模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为________．
解析　由余弦定理，得＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝，∴sin B＝，∴B＝或.
答案　或
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝________.
解析　由正弦定理＝，
将8b＝5c及C＝2B代入得＝，
化简得＝，
则cos B＝，
所以cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝.
答案　
8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，则sin B＝________.
解析　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，即c＝2.由cos C＝得sin C＝.由正弦定理＝，得sin B＝＝×＝(或者由于c＝2，所以b＝c＝2，即三角形为等腰三角形，所以sin B＝sin C＝)．
答案　
三、解答题
9．(2022·山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
解　(1)在△ABC中，由题意知，sin A＝
＝，
由于B＝A＋，
所以sin B＝sin＝cos A＝.
由正弦定理，得b＝＝＝3.
(2)由B＝A＋，得cos B＝cos＝－sin A＝－.
由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．
所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝.
因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×3×
＝.
10．(2022·杭州检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ac＝3，S△ABC＝.
(1)求B；
(2)若b＝，求△ABC的周长．
解　(1)由于S△ABC＝acsin B，所以×3sin B＝，即sin B＝.又由于0＜B＜π，所以B＝或.
(2)由(1)可知，B＝或，
当B＝时，由于a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝2，ac＝3，
所以a＋c＝；
当B＝时，由于a2＋c2＋ac＝2，ac＝3，
所以a2＋c2＝－1(舍去)，
所以△ABC的周长为a＋c＋b＝＋.
力气提升题组
(建议用时：35分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
11．(2021·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C，则sin A＋sin B的最大值是
(　　)
A．1 B.
C. D．3
解析　由csin A＝acos C，得sin Csin A＝sin Acos C，又在△ABC中
sin A≠0，所以sin C＝cos C，tan C＝，C∈(0，π)，所以C＝.所以
sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＝sin，A∈，所以当A＝时，sin A＋sin B取得最大值，故选C.
答案　C
12．(2022·东北三省四市联考)在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足＋≥1，则角A的范围是
(　　)
A. B.
C. D.
解析　由＋≥1，得b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化简得b2＋c2－a2≥bc，即≥，即cos A≥(0＜A＜π)，所以0＜A≤，故选A.
答案　A
13．(2022·新课标全国Ⅰ卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.

解析　在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，所以AC＝100(m)．
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理，得＝，因此AM＝100(m)．
在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60°，由＝sin 60°，得MN＝100×＝150(m)．
答案　150
14．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________ .
解析　由正弦定理知＝＝，
∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)
＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)
＝2(sin C＋cos C＋sin C)
＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)，
其中tan α＝，α是第一象限角，由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2.
答案　2
15．已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期及对称轴方程；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝，bc＝6，求a的最小值．
解　(1)f(x)＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
故最小正周期T＝＝π.
令2x－＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z)．
故图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
(2)由f＝sin＝可知A－＝或A－＝，即A＝或A＝π，又0＜A＜π，故A＝，
.∵bc＝6，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥bc＝6，
当且仅当b＝c时等号成立，故a的最小值为.
16．(2021·江西卷)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解　(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0，
由于sin A≠0，所以sin B－cos B＝0，
即cos B＝sin B.
由于0<B<π，所以sin B>0，所以cos B>0，
所以tan B＝，即B＝.
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
由于a＋c＝1，cos B＝，
所以b2＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－32
＝(a＋c)2＝，∴b≥.
又a＋c>b，∴b<1，∴≤b<1.