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第六节 直接证明与间接证明
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．(2022·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析 “至少有一个”的否定为“没有”．
答案 A
2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析 a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.
答案 D
3．(2021·临沂模拟)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．由a取值打算
解析 假设P<Q，∵要证P<Q，只要证P2<Q2，
只要证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，
只要证：a2＋7a<a2＋7a＋12，
只要证：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．
答案 C
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0，故选A.
答案 A
5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
解析 由已知条件，可得
由②③得代入①，得＋＝2b，即x2＋y2＝2b2.
故x2，b2，y2成等差数列，故选B.
答案 B
6．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
解析 假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，与假设冲突，故这三个数至少有一个不小于2.另取x＝y＝z＝1，可排解A、B.
答案 C
二、填空题
7．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．
解析 a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，明显，<.∴a<b.
答案 a<b
8．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5和b5的大小关系为______________．
解析 方法一：设公比为q，公差为d，
则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d，
故由a3＝b3，得2d＝a1(q2－1)．
又∵a1≠a3，∴q2≠1.
∴a5－b5＝a1q4－(a1＋4d)
＝a1q4－[a1＋2a1(q2－1)]
＝a1(q2－1)2＞0.
∴a5＞b5.
方法二：∵在等比数列{an}中，a1≠a3，
∴公比不为1.∴a1≠a5.
又∵a1＝b1，a3＝b3，a5＝a3q2＞0(q为公比)，
∴b3＝＝a3＝＜＝.
∴a5＞b5.
答案 a5＞b5
9．已知点An(n，an)为函数y＝的图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为__________．
解析 an＝，bn＝n.
方法一：cn＝－n＝随n的增大而减小，为减函数，∴cn＋1＜cn.
方法二：cn＋1＝－(n＋1)，cn＝－n，
∴＝
＝＞1.
∴cn＞cn＋1.
答案 cn＞cn＋1
三、解答题
10．设Sn表示数列{an}的前n项和．
(1)若{an}为等差数列，推导Sn的计算公式；
(2)若a1＝1，q≠0，且对全部正整数n，有Sn＝，推断{an}是否为等比数列，并证明你的结论．
解 (1)方法一：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，
又Sn＝an＋(an－d)＋…＋[an－(n－1)d]，
∴2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝.
方法二：设{an}的公差为d，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋(a1＋d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，
又Sn＝an＋an－1＋…＋a1＝[a1＋(n－1)d]＋[a1＋(n－2)d]＋…＋a1，
∴2Sn＝[2a1＋(n－1)d]＋[2a1＋(n－1)d]＋…＋[2a1＋(n－1)d]＝2na1＋n(n－1)d，
∴Sn＝na1＋d.
(2){an}是等比数列．证明如下：
∵Sn＝，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝－
＝＝qn.
∵a1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有＝＝q，
因此，{an}是首项为1且公比为q的等比数列．
11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试用反证法证明>c.
证明 (1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2.
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝(≠c)，
∴是f(x)＝0的一个根，即是函数f(x)的一个零点．
(2)假设<c，又>0，由0<x<c时，f(x)>0，
知f>0与f＝0冲突，∴≥c，
又∵≠c，∴>c.
1．设a、b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a、b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
解析 若a＝，b＝，则a＋b>1.
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a、b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b>2冲突，因此假设不成立．
故a、b中至少有一个大于1.
答案 ③
2．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是________．
解析 方法一：(补集法)
令
解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的范围为.
方法二：(直接法)
依题意有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
得－<p<1或－3<p<，
故满足条件的p的取值范围是.
答案
3．(2022·天津卷)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.证明：若an<bn，则s<t.
解 (1)当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1,2,3}．
可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．
(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，…，n及an<bn，
可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1
＝－qn－1＝－1<0.
所以，s<t.
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