江苏省2020—2021学年高一数学必修二随堂练习及答案：13空间几何体的体积.docx

随堂练习：空间几何体的体积

1．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是
2．矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为 。
3．球面上有三点，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的，经过这三点的小圆周长为4π，则这个球的表面积为 。

4． 正方体的内切球和外接球的体积之比为__________．
5． 长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．
6． 一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为________．
7． 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是________．
8． 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，
平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．

9． 如图所示，在边长为5＋的正方形ABCD中，以A为圆心画一个
扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧
面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．

答案

1．答案：
解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是，于是8个三棱锥的体积是，剩余部分的体积是，
2．答案：
解：矩形绕a边旋转，所得几何体的体积是V1=πb2a，矩形绕b边旋转，所得几何体的体积是V2=πa2b，所以两个几何体的体积的比是
3．答案：48π
解：小圆周长为4π，所以小圆的半径为2，又这三点A、B、C之间距离相等，
所以每两点间的距离是AB=BC=AC=2，
又A、B之间的大圆劣弧长等于大圆周长的，所以A、B在大圆中的圆心角是60°，
所以大圆的半径R=2，于是球的表面积是4πR2=48π.
4．1∶3
5．50π
6．4∶9
7．48
8．解　截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF－A1B1C1，另一部分是一个不规章几何体，故可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．
设棱柱的底面积为S，高为h，则△AEF的面积为S，由于V1＝VAEF－A1B1C1＝·h·(＋S＋)＝hS，剩余的不规章几何体的体积为V2＝V－V1＝hS－hS＝hS，所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5.
9．解　设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，
由已知条件，
解得r＝，l＝4，S＝πrl＋πr2＝10π，
h＝＝，V＝πr2h＝2π.