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模块综合测评(一) 学业水平测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝( )
A．{0，2} B．{2，3}
C．{3，4} D．{3，5}
【解析】 M∩N＝{2，3，4}∩{0，2，3，5}＝{2，3}，故选B.
【答案】 B
2．已知f(x)＝log2(x＋1)，则f(1)＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 f(1)＝log2(1＋1)＝1.
【答案】 B
3．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是( )
A．1，－4 B．4，－1
C．1，3 D．不存在
【解析】 函数f(x)＝x2－3x－4的零点就是方程x2－3x－4＝0的两根4与－1.
【答案】 B
4．(2021·广东高考)函数y＝的定义域是( )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)
【解析】 要使函数有意义，需解得x>－1且x≠1，故函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选C.
【答案】 C
5．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a、b、c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＜b＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【解析】 ∵y＝0.5x在R上是减函数，
又＞＞，
∴0.5＜0.5＜0.5，
即a＜b＜c.
【答案】 B
6．函数y＝ax＋2(a＞0，且a≠1)的图象经过的定点坐标是( )
A．(0，1) B．(2，1)
C．(－2，0) D．(－2，1)
【解析】 ∵函数y＝ax的图象过定点(0，1)，∴y＝ax＋2的图象过定点(－2，1)．
【答案】 D
7．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
【解析】 当a＞1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a＞1，此时两函数的图象大致为选项A.
【答案】 A
8．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200双 B．400双
C．600双 D．800双
【解析】 要使该厂不亏本，只需10x－y≥0，即10x－(5x＋4 000)≥0，解得x≥800.
【答案】 D
9．已知函数f(x)＝在区间[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于( )
A. B．－ C．1 D．－1
【解析】 ∵f(x)＝在区间[1，2]上是减函数，∴最大值A＝f(1)＝＝1，最小值B＝f(2)＝，∴A－B＝1－＝.
【答案】 A
10．方程log3x＋x＝3的解所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，＋∞)
【解析】 令f(x)＝log3x＋x－3，f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，所以f(2)·f(3)＜0，且函数f(x)在定义域内又是增函数，所以函数f(x)只有一个零点，且零点x0∈(2，3)，即方程log3x＋x＝3的解所在区间为(2，3)．
【答案】 C
11．f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时，有( )
A．f(x)≤2 B．f(x)≥2
C．f(x)≤－2 D．f(x)∈R
【解析】 由于f(x)为偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以当x≤0时，f(x)≥2，故选B.
【答案】 B
12．下列函数中，在区间(0，2)上是单调递增函数的是( )
A．y＝log(x＋1) B．y＝x
C．y＝－x D．y＝
【解析】 易知y＝log(x＋1)，y＝－x，y＝这三个函数在区间(0，2)上都是单调减函数，只有y＝x是单调增函数．
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分，将答案填在题中的横线上)
13．设A∪{－1，1}＝{－1，1}，则满足条件的集合A共有________个．
【解析】 ∵A∪{－1，1}＝{－1，1}，∴A⊆{－1，1}，
满足条件的集合A为：∅，{－1}，{1}，{－1，1}共4个．
【答案】 4
14．函数y＝f(x)(f(x)≠0)的图象与x＝1的交点个数是________．
【解析】 设函数y＝f(x)的定义域为D，
若1∈D，有1个交点；若1∉D，有0个交点．
【答案】 0或1
15．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，则f(－1)＝________．
【解析】 由题意知f(－1)＝－f(1)＝－1×(1＋)＝－2.
【答案】 －2
16．对于下列结论：
①函数y＝ax＋2(x∈R)的图象可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象平移得到；
②函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称；
③方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1，3}；
④函数y＝ln (1＋x)－ln (1－x)为奇函数．
其中正确的结论是________．(把你认为正确结论的序号都填上)
【解析】 y＝ax＋2的图象可由y＝ax的图象向左平移2个单位得到，①正确；y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，②错误；
由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)得：
∴x＝3，③错误；
设f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，定义域为(－1，1)，关于原点对称，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数，④正确．故正确的结论是①④.
【答案】 ①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：(1)lg 52＋lg 8＋lg 5lg 20＋(lg 2)2；
(2)3－27＋16－2×(8－)－1＋×(4－)－1.
【解】 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2
＝2＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
(2)原式＝3－(33)＋(24)－2×(23)＋2×(22)
＝3－3＋23－2×22＋2×2
＝8－8＋2＋＝2.
18．(本小题满分12分)若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．
【解】 A＝{－3，2}．对于x2＋x＋a＝0，
①当Δ＝1－4a＜0，即a＞时，B＝∅，B⊆A成立；
②当Δ＝1－4a＝0，即a＝时，B＝，B⊆A不成立；
③当Δ＝1－4a＞0，即a＜时，若B⊆A成立，
则B＝{－3，2}，∴a＝－3×2＝－6.
综上，a的取值范围为a＞或a＝－6.
19．(本小题满分12分)求函数y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域．
【解】 由得
∴所求函数定义域为{x|－1＜x＜0或0＜x＜2}．
20．(本小题满分12分)已知f(x)为定义在[－1，1]上的奇函数，当x∈[－1，0]时，函数解析式f(x)＝－(a∈R)．
(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值．
【解】 (1)∵f(x)为定义在[－1，1]上的奇函数，且f(x)在x＝0处有意义，
∴f(0)＝0，即f(0)＝－＝1－a＝0.
∴a＝1.
设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]．
∴f(－x)＝－＝4x－2x.
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝4x－2x.
∴f(x)＝2x－4x.
(2)当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－4x＝2x－(2x)2，
∴设t＝2x(t＞0)，则f(t)＝t－t2.
∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
当t＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.
21．(本小题满分12分)某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估量以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a＞0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
【解】 将(1，50)、(2，52)分别代入两解析式得
或(a＞0)
解得(两方程组的解相同)．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
22．(本小题满分12分)已知二次函数y＝f(x)满足f(－2)＝f(4)＝－16，且f(x)最大值为2.
(1)求函数y＝f(x)的解析式．
(2)求函数y＝f(x)在[t，t＋1](t＞0)上的最大值．
【解】 (1)由于已知二次函数y＝f(x)满足f(－2)＝f(4)＝－16，且f(x)最大值为2，
故函数的图象的对称轴为x＝1，
可设函数f(x)＝a(x－1)2＋2，a＜0.
依据f(－2)＝9a＋2＝－16，
求得a＝－2，
故f(x)＝－2(x－1)2＋2＝－2x2＋4x.
(2)当t≥1时，函数f(x)在[t，t＋1]上的是减函数，
故最大值为f(t)＝－2t2＋4t；
当0＜t＜1时，函数f(x)在[t，1]上是增函数，在[1，t＋1]上是减函数，
故函数的最大值为f(1)＝2.
综上，f(x)max＝
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