初三数学换元法专练培训讲学.doc

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利用换元法解分式方程的四种常见类型

一、直接换元
例1 解方程.
解：设，则原方程可化为.
解得 .
当时，，解得 ；
当时，，解得 .
经检验，是原方程的根.
二、配方换元
例2 解方程 .
解：原方程配方，得 .
设则.
解得 .
当时，即.
因为，
所以方程无实数根.
当时，即.
解得 .
经检验，是原方程的根.
三、倒数换元
例3 解方程.
解：设，则原方程可化为.
去分母，整理，得，解得 .
当时，，即.
解得 .
当时，，即.
解得 .
经检验，都是原方程的根.
四、变形换元
例4 解方程.
解：原方程可变形为.
设，则原方程可化为.
去分母，整理，得.
解得 .
当时，，即.
解得 .
当时，，即.
因为，
所以方程无实数根.
经检验，是原方程的根.
例1 解方程
分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。
解 设，于是原方程变形为
解得

例2 解方程
分析 方程左边分式分母为，可将右边看成一个整体，然后用换元法求解。
解 设，则原方程变形为

例3 解方程
分析 这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。
解 原方程为

例4 解方程
解 设

练习：
1. 解方程

2. 解方程

3. 解方程

提示：1. 设
2.
3. 设。

二次根式
一、知识要点概述
1、二次根式：式子叫做二次根式．
2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式．
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4、二次根式的主要性质

5、二次根式的运算
(1)因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．
(2)有理化因式与分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．
(3)二次根式的加减法：
先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．
(4)二次根式的乘除法
二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．
(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
二、典例剖析

分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手．

例3、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内．

说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．

例6、已知，求a＋b＋c的值．
分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试．

点评： 应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，|a|，a2n，是三种重要的非负数表现形式．判断一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式，如：
在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简

二次根式
21.1 二次根式：
1. 使式子有意义的条件是 。
2. 当时，有意义。
3. 若有意义，则的取值范围是 。
4. 当时，是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：。
6. 若，则的取值范围是 。
7. 已知，则的取值范围是 。
8. 化简：的结果是 。
9. 当时，。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
11. 使等式成立的条件是 。
12. 若与互为相反数，则。
13. 在式子中，二次根式有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
15. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
16. 若，则（ ）
A. B. C. D.
17. 若，则化简后为（ ）
A. B.
C. D.
18. 能使等式成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
19. 计算：的值是（ ）
A. 0 B. C. D. 或
20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）

A. B. C. D.
21. 若，求的值。

22. 当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

23. 去掉下列各根式内的分母：

24. 已知，求的值。

25. 已知为实数，且，求的值。

21.2 二次根式的乘除
1. 当，时，。
2. 若和都是最简二次根式，则。
3. 计算：。
4. 计算：。
5. 长方形的宽为，面积为，则长方形的长约为 （精确到0.01）。6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）
A. B. C. D.
8. 对于所有实数，下列等式总能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 和的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
10. 对于二次根式，以下说法中不正确的是（ ）
A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数
C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3
11. 计算：

12. 化简：

13. 把根号外的因式移到根号内：

21.3 二次根式的加减
1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下面说法正确的是（ ）
A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
B. 与是同类二次根式
C. 与不是同类二次根式
D. 同类二次根式是根指数为2的根式
3. 与不是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则化简的结果是（ ）
A. B. C. 3 D. -3
6. 若，则的值等于（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 3
8. 下列式子中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 在中，与是同类二次根式的是 。
10.若最简二次根式与是同类二次根式，则。
11. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。
12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则。
13. 已知，则。
14. 已知，则。
15. 。
16. 计算：
⑴. ⑵.

⑶. ⑷.

17. 计算及化简：
⑴. ⑵.

⑶.

⑷.

18. 已知：，求的值。

19. 已知：，求的值。

20. 已知：为实数，且，化简：。

21. 已知的值。

答案：
21.1 二次根式：
1. ； 2. ； 3. ； 4. 任意实数；
5. ； 6. ；7. ； 8. ；
9. 4； 10. ； 11. ； 12. -1；
13——20：CCCABCDB
21. 4； 22. ，最小值为1； 23. ；
24. ； 25. -2

21.2 二次根式的乘除：
1. ； 2. 1、2； 3. 18； 4. -5； 5. 2.83；
6——10： DDCAB
11. ；
12. ；
13.

21.3 二次根式的加减：
1——8：BAACCCCC
9. ； 10. 1、1； 11. ； 12. 1； 13. 10；
14. ； 15. ；
16. ；
17. ；
18. 5； 19. ； 20. -1； 21. 2

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