1、此文档仅供收集于网络,如有侵权请联系网站删除 利用换元法解分式方程的四种常见类型 一、直接换元 例1 解方程. 解:设,则原方程可化为. 解得 . 当时,,解得 ; 当时,,解得 . 经检验,是原方程的根. 二、配方换元 例2 解方程 . 解:原方程配方,得 . 设则. 解得 . 当时,即. 因为, 所以方程无实数根. 当时,即. 解得 . 经检验,是原方程的根. 三、倒数换元 例3 解方程. 解:设,则原方程可化为. 去分母,整理,得,解得 . 当时,,即. 解得 . 当时,,即. 解得 . 经检验,都是原方程的根. 四、
2、变形换元 例4 解方程. 解:原方程可变形为. 设,则原方程可化为. 去分母,整理,得. 解得 . 当时,,即. 解得 . 当时,,即. 因为, 所以方程无实数根. 经检验,是原方程的根. 例1 解方程 分析 括号里的分式相同,由这个特点,知可用换元法来解。 解 设,于是原方程变形为 解得 例2 解方程 分析 方程左边分式分母为,可将右边看成一个整体,然后用换元法求解。 解 设,则原方程变形为 例3 解方程 分析 这是一个根号里面含有分式的无理方程,也可通过变形后换元求解。 解 原方程为 例4 解方程 解 设
3、 练习: 1. 解方程 2. 解方程 3. 解方程 提示:1. 设 2. 3. 设。 二次根式 一、知识要点概述 1、二次根式:式子叫做二次根式. 2、最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式. (1)被开方数的因数是整数,因式是整式. (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 3、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式. 4、二次根式的主要性质 5、二次根式的运
4、算 (1)因式的外移和内移 如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外;如果被开方数是多项式的形式,那么先分解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外.反之,也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去. (2)有理化因式与分母有理化 两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的积不含二次根式,则称这两个代数式互为有理化因式,将分母中的根号化去,叫做分母有理化. (3)二次根式的加减法: 先把二次根式化成最简二次根式,再合并同类二次根式. (4)二次根式的乘除法 二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除)所得的积
5、商)仍作积(商)的被开方数,并将运算结果化为最简二次根式. (5)有理数的加法交换律、结合律;乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律,以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 二、典例剖析 分析:因一个等式中含有两个未知量,初看似乎条件不足,仔细观察两被开方数互为相反数,不妨从二次根式定义入手. 例3、已知xy>0,化简二次根式的正确结果是( ) A. B.- C. D.- 分析:解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号,既可以化简被开方式,又可把根号外的因式移入根号内. 说明:运用二次根式性质解题时,既要注意每一性质成
6、立的条件,又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号. 例6、已知,求a+b+c的值. 分析:已知条件是一个含三个未知量的等式,三个未知量,一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试. 点评: 应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一,|a|,a2n,是三种重要的非负数表现形式.判断一个数是否为非负数,最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式,如: 在解多变元二次根式,复合二次根式等问题时,常用到配方法,如化简 二次根式 21.1 二次根式: 1
7、 使式子有意义的条件是 。 2. 当时,有意义。 3. 若有意义,则的取值范围是 。 4. 当时,是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式:。 6. 若,则的取值范围是 。 7. 已知,则的取值范围是 。 8. 化简:的结果是 。 9. 当时,。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. 使等式成立的条件是
8、 。 12. 若与互为相反数,则。 13. 在式子中,二次根式有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. 15. 若,则等于( ) A. B. C. D. 16. 若,则( ) A. B. C. D. 17. 若,则化简后为( ) A. B. C. D. 18. 能使等式
9、成立的的取值范围是( ) A. B. C. D. 19. 计算:的值是( ) A. 0 B. C. D. 或 20. 下面的推导中开始出错的步骤是( ) A. B. C. D. 21. 若,求的值。 22. 当取什么值时,代数式取值最小,并求出这个最小值。 23. 去掉下列各根式内的分母: 24. 已知,求的值。
10、 25. 已知为实数,且,求的值。 21.2 二次根式的乘除 1. 当,时,。 2. 若和都是最简二次根式,则。 3. 计算:。 4. 计算:。 5. 长方形的宽为,面积为,则长方形的长约为 (精确到0.01)。6. 下列各式不是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 7. 已知,化简二次根式的正确结果为( ) A. B. C. D. 8. 对于所有实数,下列等式总能成立的是( ) A.
11、 B. C. D. 9. 和的大小关系是( ) A. B. C. D. 不能确定 10. 对于二次根式,以下说法中不正确的是( ) A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算: 12. 化简:
12、 13. 把根号外的因式移到根号内: 21.3 二次根式的加减 1. 下列根式中,与是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是( ) A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与是同类二次根式 C. 与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3. 与不是同类二次根式的是( ) A. B. C.
13、D. 4. 下列根式中,是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 5. 若,则化简的结果是( ) A. B. C. 3 D. -3 6. 若,则的值等于( ) A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整数部分为,小数部分为,则的值是( ) A. B. C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是( ) A. B. C.
14、 D. 9. 在中,与是同类二次根式的是 。 10.若最简二次根式与是同类二次根式,则。 11. 一个三角形的三边长分别为,则它的周长是 cm。 12. 若最简二次根式与是同类二次根式,则。 13. 已知,则。 14. 已知,则。 15. 。 16. 计算: ⑴. ⑵. ⑶. ⑷. 17. 计算及化简: ⑴. ⑵. ⑶. ⑷
15、 18. 已知:,求的值。 19. 已知:,求的值。 20. 已知:为实数,且,化简:。 21. 已知的值。 答案: 21.1 二次根式: 1. ; 2. ; 3. ; 4. 任意实数; 5. ; 6. ;7. ; 8. ; 9. 4; 10. ; 11. ; 12. -1; 13——20:CCCABCDB 21. 4; 22. ,最小值为1; 23. ; 24. ; 25. -2 21.2 二次根式的乘除: 1. ; 2. 1、2; 3. 18; 4. -5; 5. 2.83; 6——10: DDCAB 11. ; 12. ; 13. 21.3 二次根式的加减: 1——8:BAACCCCC 9. ; 10. 1、1; 11. ; 12. 1; 13. 10; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. 5; 19. ; 20. -1; 21. 2 只供学习与交流
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