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第六章 万有引力与航天
学习目标
1.加深对万有引力定律的理解，娴熟把握定律的应用方法。
2.明确人造卫星问题的处理方法。
3.加深对双星问题的理解。
课内探究
一、万有引力定律
1.万有引力定律的理解
（1）万有引力公式中的应为 。
（2）依据天体表面物体所受万有引力等于重力，即 ，得 (黄金代换公式)。
2.天体质量及密度的计算
（1）计算天体的质量和密度问题的关键是明确万有引力供应天体做圆周运动的向心力，由此可得中心天体质量的表达式 。
（2）天体的密度： (为中心天体的半径，若为近地卫星，则，有 )。
例1 （单选）“嫦娥二号”是我国月球探测其次期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面四周沿圆形轨道运行的周期，已知引力常量为，半径为的球体体积公式，则可估算月球的（ ）
A.密度 B.质量
C.半径 D.自转周期
例2 （2022·福建高考·单选）一卫星绕某一行星表面四周做匀速圆周运动，其线速度大小为。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为。已知引力常量为，则这颗行星的质量为（ ）
A. B. C. D.
二、人造卫星的与的关系
利用公式 可以进行一些计算。人造卫星的线速度、角速度、向心加速度和周期与其轨道半径的关系，详见下表。
卫星运行参量
相关方程
备注
线速度
卫星轨道半径越大，其线速度越 、角速度越 、周期越 、频率越 、向心加速度越
角速度
周期
向心加速度
说明：在推断某中心天体的行星或卫星的线速度、角速度、周期及向心加速度的变化时，一般要用、、2π和来推断，而不用来推断，由于随轨道半径的变化，与均要发生变化。
例3 （2022·天津高考改编·单选）一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度大小变为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（ ）
A.向心加速度大小之比为4∶1
B.角速度大小之比为2∶1
C.周期之比为1∶8
D.轨道半径之比为1∶2
例4 （多选）“神舟十号”飞船在运行中需要多次进行轨道维持。所谓“轨道维持”就是通过把握飞船上发动机的点火时间、推力的大小和方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定运行。假如不进行轨道维持，由于飞船在轨道上运动受摩擦阻力的作用，轨道高度会渐渐缓慢降低，在这种状况下，下列说法正确的是（ ）
A.飞船受到的万有引力渐渐增大、线速度渐渐减小
B.飞船的向心加速度渐渐增大
C.飞船的运行周期渐渐增大
D.飞船的线速度和角速度都渐渐增大
三、环绕速度
卫星绕中心天体（如地球）表面做匀速圆周运动的速度叫第一宇宙速度，也叫环绕速度。
1.环绕速度特点：（1）由,可知当时，最大，故环绕速度也是做匀速圆周运动的最大速度；
（2）由于放射卫星离地面越高能量越大，故环绕速度也是最小放射速度。
2.环绕速度的求解：方法1：由求解；
方法2：由求解。
例5 （北京高考）已知地球半径为，地球表面重力加速度为,不考虑地球自转的影响。
（1）推导第一宇宙速度的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为,求卫星的运行周期。
四、人造卫星的变轨问题
当卫星由于某种缘由速度突然转变时，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：
(1)当卫星的速度突然增加时， ，即万有引力 供应向心力，卫星将做 运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变 ，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由可知其运行速度比在原轨道时 。
(2)当卫星的速度突然减小时， ，即万有引力 所需要的向心力，卫星将做 运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径 ，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由可知其运行速度比在原轨道时 。
图6-7-1
例6 （江苏高考改编·多选）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的修理任务后，在点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，为轨道Ⅱ上的一点，如图6-7-1所示。关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（ ）
A.在轨道Ⅱ上经过的速度小于经过的速度
B.在轨道Ⅱ上经过的速率小于在轨道Ⅰ上经过的速率
C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D.在轨道Ⅱ上经过的加速度小于在轨道Ⅰ上经过的加速度
五、双星系统
1.双星系统模型的特点：
(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、周期 。
(2)两星之间的万有引力供应各自做匀速圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小 ；
(3)两星的轨道半径之和 两星间的距离，即 。
2.双星系统模型的三大规律：
(1)双星的周期、角速度 。
(2)轨道半径与质量成 比。
(3)双星系统的周期的二次方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量 关，而与双星个体的质量 关。
例7 （2022·重庆理综·单选）冥王星与其四周的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动。由此可知，冥王星绕点运动的（ ）
A.轨道半径约为卡戎的
B.角速度大小约为卡戎的
C.线速度大小约为卡戎的7倍
D.向心力大小约为卡戎的7倍
例8 （2021·山东高考·单选）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。争辩发觉，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的倍，两星之间的距离变为原来的倍，则此时圆周运动的周期为（ ）
A. B. C. D.
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