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第四节 机械能守恒定律
一、单项选择题
1．关于机械能守恒，下列说法正确的是( )
A．物体匀速运动，其机械能确定守恒
B．物体所受合外力不为零，其机械能确定不守恒
C．物体所受合外力做功不为零，其机械能确定不守恒
D．物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s2的匀加速运动，其机械能削减
【答案】D
【解析】机械能是否守恒，可从机械能守恒的条件或机械能的转化来分析．物体做匀速运动其动能不变，若是匀速上升，重力势能增大，匀速下降重力势能减小，故A错；物体做自由落体或沿光滑的斜面下滑合力都不为零，但物体的机械能守恒，故B、C错，物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s2的匀加速运动时由牛顿其次定律得mg－F＝ma，F做负功，即重力势能的削减大于动能的增加，故D选项正确．
2．如图4－4－11所示，质量为m的物体以速度v0离开桌面，若以桌面为零势面，则它经过P点时所具有的机械能是(不计空气阻力)( )
图4－4－11
A.mv＋mgh
B.mv－mgh
C.mv
D.mv＋mg(H－h)
【答案】C
【解析】小球下落过程机械能守恒，所以E0＝Ek＝mv.
3．用弹簧枪将一质量为m的小钢球以初速度v0竖直向上弹出，不计空气阻力，当小钢球的速度减为时，钢球的重力势能为(取弹出钢球点所在水平面为参考面)( )
A.mv B.mv
C.mv D.mv
【答案】A
【解析】由mv＝Ep＋m2得Ep＝mv.
图4－4－12
4．如图4－4－12所示，一根原长为l1的橡皮条和一根长为l2的绳子(l1＜l2)悬于同一点，橡皮条的另一端系着A球，绳子的另一端系着B球，两球质量相等．现从悬线呈水平位置(绳拉直，橡皮条保持原长)将两球由静止释放，当两球摆至最低点时，橡皮条的长度与绳子长度相等，此时两球速度的大小为( )
A．B球速度较大
B．A球速度较大
C．两球速度相等
D．不能确定
【答案】A
【解析】两小球初态时，处于同一高度，质量相等，重力势能相等，机械能相等，下摆过程中，B球的重力势能全部转化为动能，而A球的重力势能转化为动能和橡皮绳的弹性势能，这样，在最低点时，B球的动能大，从而就能比较两球速度大小．取最低点所在水平面为参考平面．依据机械能守恒定律，得：对球和橡皮绳系统A：mgl2＝mv＋EP，EP为橡皮绳的弹性势能；对B：mgl2＝mv，明显vA＜vB，故A正确，BCD错误．
二、双项选择题
5．下列物体机械能守恒的是( )
A．做平抛运动的物体
B．被匀速吊起的集装箱
C．光滑曲面上自由运动的物体
D．物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动
【答案】AC
【解析】物体做平抛运动或沿光滑曲面自由运动时，不受摩擦力，在曲面上弹力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以A、C项正确；匀速吊起的集装箱，绳的拉力对它做功，不满足机械能守恒的条件，机械能不守恒；物体以g的加速度向上做匀减速运动时，由牛顿其次定律F－mg＝m(－g)，有F＝mg，则物体受到竖直向上的大小为mg的外力作用，该力对物体做了正功，机械能不守恒．
6．如图4－4－13所示的几种状况，系统的机械能守恒的是( )
图4－4－13
A．一颗弹丸在光滑的碗内做简洁的曲线运动[图(a)]
B．运动员在蹦床上越跳越高[图(b)]
C．图(c)中小车上放一木块，小车的左侧有弹簧与墙壁相连．小车在左右振动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)
D．图(c)中假如小车振动时，木块相对小车有滑动
【答案】AC
图4－4－14
7．如图4－4－14所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦转动．现使轻杆从水平状态无初速度释放，发觉杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放起转动90°的过程中( )
A．B球的重力势能削减，动能增加
B．A球的重力势能增加，动能削减
C．A球的重力势能和动能都增加了
D．A球和B球的总机械能是不守恒的
【答案】AC
【解析】杆绕O顺时针转动，故mB＞mA，则系统总势能减小，转化为A、B的动能．对于A、B来说，杆的弹力和重力对其做功，使得B球重力势能削减，动能增加；A球动能、重力势能都增加；但对系统来说杆做的功为0，故系统机械能守恒．
8．一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图4－4－15所示．开头时OA处于水平位置，由静止释放，则( )
图4－4－15
A．A小球的最大速度为2
B．A球速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°
D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝1∶2
【答案】BC
【解析】由机械能守恒可知，两球总重力势能最小时，二者的动能最大，依据题意知两球的角速度相同，线速度之比为vA∶vB＝(ω·2l)∶(ω·l)＝2∶1，故选项B正确，D错误．当OA与竖直方向的夹角为θ 时，由机械能守恒定律得：mg2lcos θ－2mgl(1－sin θ)＝mv＋mv
可得：v＝mgl(sinθ＋cosθ)－mgl.
由数学学问知，当 θ＝45°时，sin θ＋cos θ 有最大值，故选项C是正确的．
三、非选择题
图4－4－16
9．(1)如图4－4－16所示，轻弹簧k一端与墙相连，质量为4 kg的木块沿光滑水平面以5 m/s的速度运动，并压缩弹簧，则弹簧在被压缩过程中最大弹性势能为________．
(2)将物体由地面竖直上抛，不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H，当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的2倍．则这一位置的高度为________．(取地面为参考面)
(3)气球以10 m/s的速度匀速上升，当它上升到离地15 m高时，从气球里掉下一个物体．假如不计空气阻力，则物体落地时的速度为________m/s(g取10 m/s2)．
【答案】(1)50 J (2) (3)20
10．如图4－4－17所示是上海“明珠线”某轻轨车站的设计方案，与站台连接的轨道有一个小坡度，电车进站时要上坡，出站时要下坡，假如坡高2 m，电车到a点时速度是25.2 km/h，此后便切断电动机的电源，假如不考虑电车所受的摩擦力．
图4－4－17
(1)电车到a点电源切断后，能不能冲上站台？
(2)假如能冲上，它到达b点时的速度是多大？(g取10 m/s2)
【答案】(1)能 (2)3 m/s
【解析】(1)取a点所在水平面为重力势能的零参考面，电车在a点的机械能为E1＝Ek1＝mv，
式中v1＝25.2 km/h＝7 m/s，
将这些动能全部转化为势能，依据机械能守恒定律，
有mgh′＝mv，所以h′＝＝ m＝2.45 m，
由于h′＞h，所以电车能够冲上站台．
(2)设电车到达b点时的速度为v2，据机械能守恒定律，可列出mv＝mgh＋mv，所以v2＝ ＝ m/s＝3 m/s.
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