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第4课时 应用举例(一)
1.把握仰角、俯角、方向角、方位角等的含义.
2.学会用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题.
3.学会解三角形应用题的一般步骤.
重点、难点:用正弦定理、余弦定理解决距离、高度、角度等的问题.
中国的“海洋国土”面积约300万平方公里,海洋权益在国家利益中的地位更加凸显.近几年,我国海军先后参与了为打击海盗进行的亚丁湾护航,并开头走出近海,深化远海进行演习,实力在不断增加,为护卫我们的“蓝色国土”供应了坚实的保障.
2005年7月11日,是中国宏大航海家郑和下西洋600周年纪念日.2005年4月25日,经国务院批准,将每年的7月11日确立为中国“航海日”,作为国家的重要节日固定下来,海洋强国正成为13亿华夏儿女的共同幻想.
问题1:海军在海上航行时,定位船只或者自身位置的手段已经格外先进.在较早时期,人们在海上航行时,定位船只的方法通常是依据方位角、方向角和距离来进行的.那么何为方位角、方向角呢?
方位角: 从正北方向顺时针到目标方向线的水平角 ;方向角: 从指定方向线到目标方向线的水平角 .此外,在测量以及确定方位时,我们能接触到的还有俯角—— 在同一铅垂面内,视线在水平线下方时与水平线所成的角 和仰角—— 在同一铅垂面内,视线在水平线上方时与水平线所成的角 ,这些是测量中的常用的名词,在我们的学习中也会经常毁灭.
问题2:正弦定理与余弦定理的常见变形有哪些?
(1)a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C ;
(2)R为△ABC外接圆的半径,则sin A= ,sin B= ,sin C= ;
(3)余弦定理的推论可以用式子表示为cos A= ,cos B= ,cos C= .
问题3:在解三角形应用问题时,一般在处理问题时要分几个步骤?
分如下四个步骤:
(1) 分析 :理解题意,分清已知与未知,画出示意图.
(2) 建模 :依据已知条件与求解目标,将实际问题转化为抽象的数学问题.
(3) 求解 :利用正弦定理、余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解.
(4) 检验 :检验上述所求的解是否具有实际意义,从而得出实际问题的解.
问题4:解斜三角形应用题的步骤是怎么样的?
应用正弦定理、余弦定理解三角形应用问题,一般是依据题意,从实际问题中抽象出 一个或几个三角形 ,通过解这些三角形,从而使实际问题得到解决.解题时应认真审题,未给图形的,可以先画出示意图,要理解好应用题中有关的名词、术语,如 坡角 、 仰角 、 俯角 、 方位角 等,要留意解的实际意义以及题目中给出的精确度.
留意数学思想方法在本课时中的应用:(1)化归与转化思想,即将实际问题抽象概括,转化为解三角形的问题;(2)方程思想,即在三角形中应用正、余弦定理列方程求解;(3)函数思想,题目中涉及最值问题的往往需要考虑建立函数解析式求最值.
1.若P在Q的北偏东44°50',则Q在P的( ).
A.东偏北45°10' B.东偏北45°50'
C.南偏西44°50' D.南偏西45°50'
【解析】依据P在Q的北偏东44°50',可以推断Q在P的南偏西44°50',故选C.
【答案】C
2.一船向正北航行,观看正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,连续航行半小时后,观看一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的航行速度是每小时( ).
A.5海里 B.5海里
C.10海里 D.10海里
【解析】如图所示,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10(海里),
在Rt△ABC中,得AB=5(海里),于是这艘船的航行速度是=10(海里/小时).
【答案】C
3.在直径为30 m的圆形广场中心上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照到整个广场,则光源的高度为 m.
【解析】轴截面如图,则光源高度h==5(m).
【答案】5
4.在同一平面内,在A处测得B点的仰角是50°,且到A的距离为2,C点的俯角为70°,且到A的距离为3,求 B、C间的距离.
【解析】依据题意得:∠BAC=120°,AB=2,AC=3,
∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=4+9-2×2×3×cos 120°=19,∴BC=.
利用正、余弦定理求解距离问题
如图所示,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距千米的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.
【方法指导】要求A,B之间的距离,可以在△ABC或△ADB中找关系,但不管在哪个三角形中,AC(BD),BC(AD)这些量都是未知的,需要依据已知条件找出合适的关系式,求出它们的值,剩下的只需解三角形即可.
【解析】在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,
∴∠CAD=30°,∴AC=CD=.
在△BDC中,∵∠CBD=180°-45°-(45°+30°)=60°,
由正弦定理,可得BC==2sin(30°+45°)=2sin 30°cos 45°+2cos 30°sin 45°=.
在△ACB中,由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA,∴AB2=()2+()2-2×××cos 75°=5+-(3+)(cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°)=5,∴AB=.
故两目标A,B间的距离为千米.
【小结】(1)求解三角形中的基本元素,应由确定三角形的条件个数,组织一系列三角形求解,即“三角形链”方法.
(2)本题是测量两个都不能到达的两点间的距离,它是测量学中应用格外广泛的“三角网”测量方法的原理,其中AB可视为基线.
(3)计算方法:sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=.同理cos 75°=.熟记后可直接应用.
利用正、余弦定理求解高度问题
如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测得山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯角为45°,已知塔高AB=20 m,求山高CD.
【方法指导】过点C作CE∥DB,延长BA交CE于点E,在△AEC中建立关系.
【解析】如图,过点C作CE∥DB,延长BA交CE于点E,设CD=x m,则AE=(x-20)m,
∵tan 60°=,
∴BD===x(m).
在△AEC中,x-20=x,解得x=10(3+) m.故山高CD为10(3+) m.
【小结】(1)测量高度时,要精确 理解仰、俯角的概念;
(2)分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形内应用正、余弦定理.
利用正、余弦定理求解角度问题
在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发觉在北偏东45°方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进,若侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.
【方法指导】构造要进行计算的△ABC,利用时间表示出三角形的另外两边,依据余弦定理可以求解出三角形的三边,再依据正弦定理可以计算α的正弦值.
【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,
则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.
依据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°,
解得x=2.故AC=28,BC=20.
依据正弦定理得=,解得sin α==.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为.
【小结】(1)测量角度,首先应明确方向角的含义.
(2)在解应用题时,理清已知与所求,再依据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,在解题过程中也要留意体会正、余弦定理综合使用的特点.
某观测站C在目标A的南偏西25°方向,从A动身有一条南偏东35°走向的大路,在C处测得与C相距31 km的大路上的B处有一人正沿此大路向A走去,走了20 km后到达D处,此时测得CD距离为21 km,求此人在D处距A的距离.
【解析】如图,∠CAD=25°+35°=60°.
在△BCD中,由余弦定理,得
cos B=
==.
故sin B=.
在△ABC中,由正弦定理,得
AC===24.
由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A,
即312=AB2+242-2×AB×24cos 60°,
∴AB2-24AB-385=0,
解得AB=35或AB=-11(舍去),
∴AD=AB-BD=15(km).
故此人在D处距A还有15 km.
如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.
【解析】在△BCD中,∠CBD=π-α-β,
由正弦定理得=,
所以BC==.
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=.
如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心马上把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,求cos θ.
【解析】如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2800,所以BC=20.
由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=.
故cos θ=cos(∠ACB+30°)
=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°
=×-×=.
或由cos θ=sin B及正弦定理有sin B=·sin 120°=×=.
1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为( ).
A.α>β B.α=β
C.α+β=90° D.α+β=180°
【解析】依据仰角与俯角的定义可知α=β.
【答案】B
2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观看站C的距离都等于a km,灯塔A在观看站C的北偏东20°,灯塔B在观看站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为( ).
A.a km B.a km
C.a km D.2a km
【解析】由题意知∠ACB=120°,AC=BC=a.
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°=2a2-2a2×(-)=3a2,∴AB=a.
【答案】B
3.海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距10 n mile,∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B,C间的距离是 n mile.
【解析】在△ABC中,由正弦定理可得=,
即BC===5.
【答案】5
4.如图,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°、45°,且A、B两点之间的距离为60 m,求树的高度h.
【解析】由正弦定理得:=,∴PB=,∴h=PBsin 45°=(30+30)m.
(2021年·江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲动身2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cos C=.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙动身多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
【解析】(1)在△ABC中,由于cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.
从而sin B=sin[π-(A+C)]
=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C
=×+×=.
由正弦定理=,得AB=×sin C=×=1040(m).
所以索道AB的长为1040 m.
(2)假设乙动身t分钟后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200×(37t2-70t+50)=200[37×(t-)2+],
因0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.
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